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Calculisto

Potencial Eléctrico Generado por Cuerpos Extensos

Introducción

No sé tú, pero lo primero que hago cuando abro un tema en Calculisto es mirar el tamaño de la barrita de desplazamiento (en la esquina derecha de tu pantalla) para saber si hay mucho texto o no.

Sí! Lo sé, asusta!

 

Lo que pasa es que... en este tópico veremos casos donde tendremos que calcular el Potencial Eléctrico generado por Cuerpos extensos. ¡Por eso el material es extenso! jejeje xD

 

Pero lo que hay que tener en cuenta es que cuando este tipo de problema aparece en los exámenes, el problema generalmente no querrá que simplemente se aplique la fórmula de potencial, pero sí, que se demuestre la deducción del potencial eléctrico para un caso particular.

 

Es por eso que el tamaño del tópico de hoy asusta, pues estaremos viendo todas la deducciones que puede que tengas que utilizar en el exámen, okay?

 

Así que respira profundo y #COMENCEMOS!!

 

Principio que vamos a utilizar

Ya sabemos que una carga puntiforme a una distancia \(d\) genera un potencial que puede ser calculado así:

 

 

\(V(P)=k \cdot \frac{Q}{d}\)

 

Para esta situación es válido el teorema de la superposición: si tenemos dos o más cargas, podemos sumar los potenciales generados (por cada una de ellas) por separado.

 

Con esa información y un poco más de operaciones, podemos calcular el potencial eléctrico generado por un cuerpo extenso. 

 

Los cuerpos extensos pueden aparecer en cuestiones de tres tipos:

 

 

El principio que vamos a utilizar en todos los casos a menudo es el mismo. Siempre debemos empezar buscando un pedazo infinitesimal del cuerpo cargado.

 

Una imagen dice más que mil palabras:

Este es el llamado método de la integral de los potenciales generado por cargas infinitesimales. También existe otro, el método de la integral de línea de campo eléctrico, donde: 

 

\(\Delta V=-\int \overrightarrow{E(x)} \cdot \overrightarrow{d x}\)

 

Estaremos viendo más sobre él en un momento.

 

Volviendo al método de la integral de los potenciales generados por cargas infinitesimales…

 

Quién es \(d Q\)?

 

  • En el caso de una línea de carga, tendremos que: \(d Q=\lambda \cdot d l\), donde \(\lambda\) es la densidad de carga lineal y \(d l\) es un pequeño pedazo unidimensional de hilo;

  • Para el caso superficie de cargas, tendremos que: \(d Q=\sigma . d S\), donde \(\sigma\) es la densidad de carga superficial, y \(dS\) es una pequeña variación de área en la superficie. 

  • Finalmente, para un cuerpo tridimensional: \(d Q=\rho \cdot d V\), donde \(\rho\) es la densidad de carga volumétrica, y \(d V\) es una pequeña variación en el volumen.  

 

Potencial Eléctrico en Líneas de Carga – Caso de la barra recta 

En la siguiente figura tenemos una barra cargada uniformemente con densidad \(\lambda\):

Nuestra misión es calcular el potencial en un punto arbitrario del eje \(x\).

 

Empecemos echando un vistazo a un pedazo muy pequeño de esa barra. El potencial de ese punto de carga \(d q\) y longitud \(d y\), en un punto arbitrario de \(x\) será:

 

\(d V=k \frac{d q}{r}\)

 

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es integrar en toda la barra para hallar el potencial en ese punto:

 

\(V(r)=k \int_{-a}^{a} \frac{d q}{r}\)

 

A continuación trabajaremos con esas variables para conseguir hacer la integral. Cambiamos \(d q\) por un diferencial de espacio usando la ecuación de densidad:

 

\(\lambda=\frac{d q}{d y} \rightarrow d q=\lambda d y\)

 

Observación: Estamos utilizando \(d y\) porque la barra, en este caso, está sobre el eje \(y\)

 

Note que \(x\), \(y\) y \(r\) forman un triángulo rectángulo. Siendo así, podemos expresar \(r\) usando Pitágoras:

 

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

 

Sustituyendo en la expresión de nuestro potencial:

 

\(V(x)=k \int_{y=-a}^{y=a} \frac{\lambda d y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

 

Sé que esa integral puede parecer horrible, pero recientemente los exámenes ya vienen con fórmulas listas para resolver esas malvadas. Dicho esto, el resultado de la integral será:

 

\(V(x)=k \lambda \ln \frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}-a}\)

 

Sí, es horrible.

 

Pero ¿qué tal si lo hacemos por el otro método? Necesariamente la respuesta final tiene que ser la misma, pero te diré que... sería mucho más desagradable.

 

“Okay, ¿pero cómo puedo saber cual método utilizar?”

 

Wow, en serio…muy buena tu pregunta ¡Me estás haciendo sudar!

 

En realidad, es el tipo de cosas que con la practica vas agarrandole el truco, pero yo lo suelo hacer de la siguiente manera:  

 

  • Si el campo generado por el cuerpo es calculado por la integral \(\overrightarrow{d E}\) \(\rightarrow\) Método de la integral de los potenciales (integrando dV);

  • Si consigues calcular el campo por la Ley de Gauss \(\rightarrow\) Método de la integral de línea de campo eléctrico \((\Delta V)\).

 

Como ya te he dicho, esto se vuelve más claro con la práctica, pero ese truco puede ayudarte. 

 

Potencial Eléctrico en línea de cargas – Caso del anillo de cargas

Si encuentras este caso en el examen, puedes levantarte y darle un abrazo a tu profesor, o profesora... estás salvado!

 

Cuando un anillo o un anillo cortado está cargado, hacer las integrales para calcular el campo eléctrico o el potencial eléctrico en el centro del anillo o en su eje no genera muchas operaciones matemáticas. 

 

Eso se debe a una simple razón: el centro tiene la misma distancia en todos los puntos, esto hace que muchos términos se eliminen de la integral. Que tal si le echamos un vistazo de cerca? 

 

La pregunta aquí es: ¿Cuánto sería el potencial eléctrico en el punto \(P\) en función de la distancia \(Z\), de radio \(a\) y de carga \(q\)? Empecemos con la vieja fórmula de arriba. 

 

\(d V=k \frac{d q}{r}\)

 

Primero necesitamos descubrir quién es \(r\). Por Pitágoras, tenemos:

 

\(r=\sqrt{z^{2}+a^{2}}\)

 

Y quién sería \(d q\)? No importa en este caso (al menos no todavía)... echa un vistazo a lo que va a suceder en la integral en este caso:

 

\(V=\int_{A} k \cdot \frac{d q}{r}=\int_{A} k \cdot \frac{d q}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\)

 

Vamos a sacar toda constante de la integral y…

 

\(V=\frac{k}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} \cdot \int_{A} d q\)

 

Ahora, independientemente de que el anillo este esté uniformemente cargado o no… esa integral será justamente la carga total \(Q\) del anillo, entonces:

 

\(Q=\int_{A} d q \rightarrow V=\frac{k \cdot Q}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\)

 

La respuesta sería la misma aunque el anillo estuviera roto, o fuera un pedazo de arco de anillo.

 

“Y si el problema no me da la carga del anillo?”

 

En ese caso, si el anillo está cargado uniformemente y tiene una densidad \(\lambda\), no necesitas integrar para hallar la carga total: 

 

\(Q=2 . \pi . a . \lambda\)

 

Por otro lado, en caso de que el anillo tenga una densidad lineal variable, 

debemos integrar el producto de esa densidad por las pequeñas longitudes del anillo y encontrar la carga total.

 

\(Q=\int \lambda \cdot d l\)

 

Potencial en Disco cargado

El disco que se muestra en la figura de arriba posee una densidad superficial \(\sigma\) y queremos saber cual es el potencial eléctrico en el punto \(M\) de la figura, que está a una distancia \(z\) de este disco de radio \(R\).

 

La idea es dividir este disco en infinitos disquitos (como el disco amarillo representado arriba) con un espesor infinitesimal \(d r\). El área infinitesimal vale:

 

\(A(r)=\pi \cdot r^{2} \rightarrow \frac{d A}{d r}=2 . \pi . r \rightarrow d A=2 . \pi . r . d r\)

 

Donde \(0 \leq r \leq R\)

 

La carga infinitesimal de cada disquito puede ser escrita como:

 

\(d q=\sigma d A=\sigma 2 \pi r d r\)

 

El potencial infinitesimal generado por cada uno de ellos viene dado por:

 

\(d V=k \cdot \frac{d q}{D(r)}\)

 

Llamamos \(P M\)  a la distancia entre el disco amarillo y el punto considerado \(D(r)\), ya que esa distancia depende de \(r\). De tal manera que, \(D(r)\) puede ser calculada por Pitágoras: 

 

\(D^{2}=r^{2}+z^{2} \rightarrow D=\sqrt{r^{2}+z^{2}}\)

 

Genial, ahora vamos a reemplazar a todos en la fórmula de potencial:

 

\(d V=k \cdot \frac{d q}{D(r)} \rightarrow d V=k \cdot \frac{\sigma \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot d r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\)

 

Vamos a integrar esa expresión y sacaremos a todos los que no dependen de \(r\) en la integral:  

 

\(V=\int_{0}^{R} \sigma \cdot k \cdot 2 \cdot \pi \cdot\left(\frac{r \cdot d r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}\right)=\sigma . k .2 . \pi . \int_{0}^{R} \frac{r}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}} d r\)

 

Ahora debemos usar la sustitución, donde: 

 

\(a=r^{2}+z^{2}\)

 

\(\frac{d a}{d r}=2 r \rightarrow r \cdot d r=\frac{d a}{2}\)

 

\(0 \leq r \leq R \rightarrow z^{2} \leq a \leq R^{2}+z^{2}\)

 

Haciendo las sustituciones y resolviendo la integral, tendremos, finalmente:

 

\(V=\sigma . k . \pi . \int_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}} \frac{d a}{\sqrt{a}}=\sigma . k . \pi .[2 . \sqrt{a}]_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}\)

 

Por tanto:

\(V=2 . \sigma . k . \pi \cdot(\sqrt{z^{2}+R^{2}}-z)\)

 

Si utilizas la permitividad \(\left(\epsilon_{0}\right)\) en lugar de la constante \(k\), encontrarás lo siguiente:

 

\(k=\frac{1}{4 \pi \cdot \epsilon_{0}} \rightarrow {U=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} \cdot(\sqrt{z^{2}+R^{2}}-z)}\)

 

Obs: Si hacemos que el radio \(R\) tienda hacia el infinito en esa ecuación, podemos encontrar el potencial eléctrico de una placa infinita cargada. Después de todo, un disco infinito se convierte en un plano infinito si te paras a imaginar. La idea es notar que: 

 

\(R \gg z \rightarrow \sqrt{z^{2}+R^{2}} \approx R\)

 

Bien, hasta ahora hemos usado siempre el mismo método, que fue empezar mirando un pedazo infinitesimal del cuerpo que estamos analizando. A partir de ahora veremos algunos cuerpos donde tendremos que usar otro método. 

 

Potencial Eléctrico en Cilindros – Método de la Integral de Línea

La idea que tenemos sobre el problema del cilindro cargado es:

Una corteza cilíndrica se encuentra dentro de otra. Las dos cortezas poseen una longitud muy larga, hasta el punto de poderlas considerar infinitas.

 

A la derecha podemos ver los dos cilindros desde arriba: el cilindro de adentro posee un radio \({a}\) y está cargado positivamente \((+Q)\), mientras que el cilindro de afuera posee un radio \({b}\) y está cargado negativamente \((-Q)\).

 

Obs: Un nombre elegante para el montaje de la figura es “condensador cilíndrico infinito” y puede que lo encuentres con ese nombre en las preguntas del exámen. 

 

El asunto es: queremos calcular el potencial eléctrico para las posiciones situadas entre los dos cilindros, es decir: 

 

\(a \leq r \leq b\)

 

Nuestra estrategia será la siguiente:

 

  1. Utilizamos la Ley de Gauss y calculamos el campo eléctrico;

 

\(\Phi(\vec{E})={\oiint}_{G} \vec{E} \cdot d \vec{A}=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}\)

 

  1. Utilizamos el campo eléctrico para calcular el potencial eléctrico. 

 

\(V(b)-V(r)=-\int \vec{E} \bullet \overrightarrow{d r}\)

 

Sin embargo, antes de comenzar con las operaciones, vamos a usar utilizar la figura de abajo para analizar dos regiones: la región dentro del cilindro interior (gaussiana roja) y la región fuera del cilindro exterior (gaussiana verde). 

 

En ambos casos, la carga dentro de la gaussiana es igual a cero!

 

Entonces, por la Ley de Gauss, en ambos casos, no hay campo eléctrico. ¿Eso significa que el potencial eléctrico también será igual a cero en esas regiones?

 

NO! Mucho cuidado con eso! De hecho, significa que el potencial en esas regiones es constante. Es decir:

 

  • Para \(r<a \rightarrow V(a)=V(r)\);

  • Para \(r>b \rightarrow V(b)=V(r)\).

 

Genial! Ya estamos listos para volver al problema.

 

Ahora necesitamos saber cuánto vale en la región \((a<r<b)\)

 

Para ello, vamos a aplicar la Ley de Gauss, utilizando una gaussiana cilíndrica finita de radio \(r\) y longitud \(L\), coaxial a los otros cilindros y localizada entre ellos. Por tanto, la gaussiana sólo incluirá la parte del cilindro de carga \(+Q\),  

 

\(Q_{i n t}=\sigma .2 . \pi . a . L\)

 

Donde \(\sigma\) corresponde a la densidad de carga superficial del cilindro de radio \(a\). Sustituyendo esto en la Ley de Gauss, tendremos lo siguiente: 

 

\(\oiint_{G} \vec{E} \cdot d \vec{A}=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}\)

 

\(E(r) .2 . \pi . r . L=\frac{\sigma .2 . \pi . a . L}{\epsilon_{0}}\)

 

\(E(r)=\frac{\sigma \cdot a}{\epsilon_{0} \cdot r} \rightarrow \vec{E}(r)=\frac{\sigma \cdot a}{\epsilon_{0} \cdot r} \hat{r}\)

 

Tenemos la expresión del campo eléctrico, ahora sólo hay que integrar esta función para calcular el potencial eléctrico.

 

Pero ahora viene un detalle importante, para calcular el potencial eléctrico, partimos de la región más externa y nos vamos acercando al centro. Así que hagamos que nuestra variable de integración pase por un valor arbitrario \((r)\) a un valor que ya conocemos \((b)\).

 

\(\Delta V=-\int \vec{E}(r) \cdot \overrightarrow{d r}\)

 

\(V(b)-V(r)=-\int_{r}^{b} \vec{E}(r) \cdot \overrightarrow{d r}\)

 

“Uy! ¿Pero porque vamos a integrar de \(r\) a \(b\)?”

 

La ecuación que estamos utilizando funciona con una diferencia de potencial, de forma que, si queremos saber el potencial a una distancia \(r\) cualquiera, necesitamos un punto donde ya sepamos el potencial (el punto \(b\)). 

 

“¿Pero sabemos el potencial del punto \(b\)?”

 

Vimos que el potencial \(V(b)\) es igual al potencial en cualquier punto en donde \(r>b\). Y, precisamente, para ese punto, usamos el infinito como referencia, ya que su potencial siempre es nulo, por tanto:

 

\(V(r)=V(b)=V(\infty)=0\)

 

\((r>b)\)

 

“¿Usaremos siempre al infinito como referencia?”

 

SI! A menos que el problema te dé el potencial en otro punto, pero en la mayoría de los casos el infinito será nuestra referencia.

 

Volviendo a la ecuación de la diferencia de potencial y sustituyendo la expresión de campo eléctrico: 

 

\(V(b)-V(r)=-\int_{r}^{b} \vec{E}(r) \cdot \overrightarrow{d r}\)

 

\(0-V(r)=-\int_{r}^{b} \frac{\sigma \cdot a}{\epsilon_{0} \cdot r} \hat{r} \cdot \overrightarrow{d r}\)

 

\(-V(r)=-\int_{r}^{b} \frac{\sigma . a}{\epsilon_{0} \cdot r} d r=-\frac{\sigma . a}{\epsilon_{0}} \int_{r}^{b} \frac{d r}{r}\)

 

\(V(r)=\frac{\sigma \cdot a}{\epsilon_{0}} \ln \left(\frac{b}{r}\right)\)

 

\((a \leq r \leq b)\)

 

Si todavía quisiéramos calcular el potencial en un punto donde \(r<a\), basta con sustituir en la ecuación y tendremos:

 

\(V(r)=V(a)=\frac{\sigma \cdot a}{\epsilon_{0}} \ln \left(\frac{b}{a}\right)\)

 

\((r \leq a)\)

 

Sin más misterio!

 

Campos Eléctricos en Esferas Cargadas

Para finalizar, tenemos dos cortezas esféricas, concéntricas, uniformemente cargadas, una con un radio menor \(a\) y dentro de la otra con un radio mayor \(b\).

El problema es muy similar al que acabamos de resolver, así que apliquemos los mismos principios, ¿de acuerdo?.

 

En el caso clásico, la esfera exterior y la esfera interior tienen cargas iguales y signos opuestos. Es decir: tenemos lo que llamamos condensador esférico. En este caso, tanto el campo eléctrico dentro de la esfera más pequeña como el campo fuera de la esfera más grande son iguales a cero. 

 

Esto se debe a que en ambos casos la carga interna en la superficie gaussiana es cero.

 

Entonces, por la Ley de Gauss, podemos concluir que:

 

  • \(0 \leq r \leq a \rightarrow E(r)=0\);

  • \(b \leq r \leq \infty \rightarrow E(r)=0\).

 

En relación al potencial en esa segunda región, tenemos que:

 

\(V(\infty)-V(b)=0 \rightarrow V(\infty)=V(b)\)

 

\(V(\infty)=0 \rightarrow V(b)=0\)

 

La idea de decir que el potencial eléctrico en el infinito es cero es muy utilizada. Por eso empezamos sabiendo que el potencial sobre la esfera mayor es igual a cero. No está nada mal empezar la pregunta con tanta información dada sin hacer mucha matemática.

 

Ya no hay truco ni misterio, solo queda calcular cómo varía el potencial en la región entre la esfera más pequeña y la más grande.

 

\(a \leq r \leq b\)

 

Aplicando la Ley de Gauss, encontraríamos algo así:

 

\(E(r)=\left(\frac{a}{r}\right)^{2} \cdot \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}\)

 

Donde \(\sigma\) representa la densidad de carga superficial de la esfera interna:

 

Genial, después de eso sólo debes hacer:

 

\(\Delta V=V(b)-V(r)=-\int_{C} \overrightarrow{E(r)} \bullet \overrightarrow{d r}=\Delta V=-\int_{r}^{b}\left(\frac{a}{r}\right)^{2} \cdot \frac{\sigma}{\epsilon_{0}} \cdot d r\)

 

\(0-V(r)=-\frac{\sigma \cdot a^{2}}{\epsilon_{0}} \int_{r}^{b} \frac{d r}{r^{2}}\)

 

\(-V(r)=\frac{\sigma \cdot a^{2}}{\epsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}\right)_{r}^{b}\)

 

Organizando el desastre, encontraremos lo siguiente:

 

\(V(r)=\frac{\sigma \cdot a^{2}}{\epsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right)\)

 

\((a \leq r \leq b)\)

 

Si todavía quisiéramos calcular el potencial en un punto en que \(r<a\), simplemente, sustituimos en la ecuación y tendremos:

 

\(V(r)=V(a)=\frac{\sigma \cdot a^{2}}{\epsilon_{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\)

 

\((r \leq a)\)

 

Pero...¿y si la carga de la esfera exterior fuera diferente a la carga de la esfera interior?

¡Estén atentos! En ese caso, amigos míos, tendríamos:

 

\(V(b) \neq V(\infty)\)

 

¿Bien?

 

Vamonos a los ejercicios!

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