Campo Eléctrico Generado por un Cuerpo Extenso

Campo Eléctrico Generado por un Cuerpo Extenso

Hola chicos!

 

En esta ocasión, vamos a estudiar el campo eléctrico generado por un cuerpo extenso de una dimensión, como un hilo, y de dos dimensiones, como un disco. 

 

Para ello, necesitaremos del concepto de densidad de carga lineal, que acabamos de aprender, ¿de acuerdo?.

 

Campo Eléctrico Generado por Línea de Cargas

Hora de la acción! Imaginemos un hilo de longitud \(2 . a\), positivamente cargado. Sabes cual es el valor del campo eléctrico generado por él en un punto \(P\)?

No sabes? Tranquilo, ahora mismo te voy a enseñar.

 

Si quisiéramos hallar el campo eléctrico resultante en un punto arbitrario del eje \(x\), basta con sumar todos los campos de todas la partículas infinitesimales de carga \(d q\) que componen la barra:

 

\(d \vec{E}=k \frac{d q}{r^{2}} \hat{r}\)

 

Sumar, en el caso continuo, corresponde a integrar, entonces:

 

\(\vec{E}=\int_{\text {barra }} k \frac{d q}{r^{2}} \hat{r}\)

 

El vector \(\hat{r}\) apunta desde la carga que genera el campo hasta el punto que sufre su acción. por tanto es natural que él varíe en cuanto integramos. Esto significa que no puede salir de la integral como una constante.

 

¿Cómo resolvemos este problema? En teoría es simple, en la práctica es algo aburrido: tenemos que descomponer ese vector.

 

Queremos descubrir el campo eléctrico en un punto arbitrario del eje \(x\). Podemos dibujar los vectores:

“¿Uy, no íbamos a descomponer \(\hat{r}\)?” Sí, pero da igual descomponer \(\overrightarrow{d E}\) porque después de todo apunta en la dirección de \(\hat{r}\). Siguiendo, tenemos que:

 

\(d E_{x}=d E \cos (\theta)\)

 

\(d E_{y}=d E \operatorname{sen}(\theta)\)

 

Vale, ahora solo conectamos estos senos y unimos la geometría del problema, ¿vale? Observando la figura:

Y basándonos en el hecho de que, por Pitágoras:

 

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

 

Podemos sustituir:

 

 \(\cos (\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

 

\(\operatorname{sen}(\theta)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

 

Y, tenemos que:

 

\(d E=k \frac{d q}{x^{2}+y^{2}}\)

 

Por lo tanto:

\(d E_{x}=k \frac{d q}{x^{2}+y^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

 

\(d E_{y}=k \frac{d q}{x^{2}+y^{2}} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

 

Por la simetría de este problema, se nota que no tendremos componente de campo eléctrico en la vertical. Pero eso puede no ocurrir en otros problemas, ¡así que ten cuidado!

 

En el caso unidimensional, de cargas esparcidas en hilos, tenemos que:

 

\(\lambda_{HILO}=\frac{d q}{d y} \rightarrow d q=\lambda_{H I L O} . d y\)

 

Ahora podemos integrar sin preocuparnos por vectores variando.

 

No vamos a hacer estas integrales ahora porque no es importante para el entendimiento, pero en los ejercicios va a ser la hora de la verdad.

 

Campo Generado por un Disco Cargado 

Ahora estudiaremos un disco cargado positivamente. Posee una densidad de cargas constante; y queremos saber cual es el campo generado en un punto \(M\) que se encuentra sobre su eje.    

 

Observe la figura de abajo:

Tenga en cuenta que el campo apunta hacia arriba. Esto se debe a que nuestro problema es simétrico, todos las componentes del campo que no están en la parte superior de la recta \(\stackrel\leftrightarrow{M O}\) son nulas. 

 

Por lo tanto, podemos simplificar todo y preocuparnos sólo del eje \(\widehat{O} z\). Entonces, tenemos lo siguiente: 

 

\(\overrightarrow{E_{R}}=E_{z} \cdot \hat{z}\)

 

El vector \(\hat{z}\) apunta hacia arriba y tiene módulo unitario. 

 

Vamos a calcular el valor de \(E_{z}\) siguiendo la misma idea del ejemplo anterior: dividiendo el disco en pedacitos infinitos de carga \(d q\).

 

\(E_{z}=E . \cos (\alpha)=K \cdot \int_{D I S C O} \frac{d q}{d^{2}} \cdot \cos (\alpha)\)

 

Hasta aquí todo bien,no? Vamos a continuar.

 

La diferencia, en este caso, es que utilizamos la siguiente relación de la densidad superficial de carga:

 

\(\sigma . d A=d q\)

 

\(A=\pi \cdot R^{2}\)

 

\(\frac{d A}{d r}=2 \pi r \rightarrow d A=2 \pi r d r\)

 

\(\sigma 2 \pi r d r=d q\)

 

Ahora, solo falta relacionar el valor de \(d\) y \(\alpha\) con \(r\):

 

\(d=\sqrt{r^{2}+z^{2}}\)

 

\(\frac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}=\cos (\alpha)\)

 

¡Luego sustituyes todo en la integral y la manipulas para obtener el resultado! ¿Qué te parece si vamos a los ejercicios y vemos todo esto mejor? 

Hay un error?