Densidad de Carga
Introducción
Hasta ahora, solo hemos visto casos de cargas puntiformes, que tratamos como cargas concentradas en un único punto.
En la vida real, trabajamos con cuerpos extensos, en los cuales la carga se distribuye por todo su volúmen.
Por ende, en este capítulo estudiaremos cómo entender esas distribuciones. Para ello, hablaremos sobre la densidad de carga.
Densidad de carga lineal \((\lambda)\) – Caso uniforme
Primero, vamos a tratar los cuerpos unidimensionales, como cables o barra, en los cuales la carga puede distribuirse a lo largo de una línea
En esa situación, decimos que tenemos una densidad de carga lineal \((\lambda)\), que expresa “la cantidad de carga por unidad de longitud”.
Entonces, necesitamos ver cuanta carga \(\Delta q\) existe en un pedacito de cable \(\Delta x\), okay?
Tenga en cuenta que para el cable dibujado en la figura, esa cantidad está distribuida por todo el cable, entonces decimos que la barra está uniformemente cargada.
Imaginen que cada carga naranja vale \(1 m C\). Por lo que, tenemos \(4 m C\) de carga para cada unidad de \(\Delta X\).
Supongamos que \(\Delta X\) es igual a \(1{mm}\). De esa forma, la densidad de carga lineal del cable será:
\[\lambda_{cable}=\frac{\Delta Q}{\Delta x}=\frac{4 m C}{1 m m}=\frac{4.10^{-3}}{10^{-3}}=4 \frac{C}{m}\]
La unidad de la densidad de carga lineal en el S.I es el “coulomb por metro”.
Como la barra está uniformemente cargada, podemos calcular el valor de la densidad lineal del cable como la división entre la carga total y la longitud total del cable.
\[\lambda_{cable}=\frac{\Delta Q}{\Delta x}=\frac{Q_{cable}}{L}\]
Por lo tanto, podemos tomar cualquier intervalo de cable o todo el cable para calcular la densidad de carga lineal uniforme.
Pero, ¿y si la carga se distribuye de una manera distinta?
Densidad de carga lineal – Caso variable
Observe la siguiente figura:
Empecemos mirando cada pedacito:
En el primer pedazo tenemos una única bolita de carga \(\left(1^{2}=1\right)\);
En el segundo pedazo tenemos cuatro \(\left(2^{2}=4\right)\);
En el tercer pedazo tenemos nueve \(\left(3^{2}=9\right)\);
En el pedazo \(n\) tenemos \(n^{2}\) bolitas en nuestra figura.
Las cargas prefieren permanecer en la parte más derecha del cable. Entonces tenemos un caso de densidad de carga lineal no homogénea.
Presta atención, como cada pedacito de longitud \(\Delta x\) tiene una cantidad de carga diferente, no podemos simplemente calcular la densidad de carga lineal tomando un pedacito de estos al azar (como hicimos antes), ¿tiene sentido?
Por lo tanto, la densidad lineal de esas cargas en este caso, debe ser definida para cada punto del cable, es decir, para cada valor de \(x\)!
Para ello, debemos tomar un intervalo muy pequeño, tan pequeño que se confundirá con un punto de \(x\). Ese pedazo infinitesimal \(d x\) tendrá una carga infinitesimal \(d q\) asociada a él, de forma que podemos escribir la densidad de carga lineal de la siguiente manera:
\[\lambda=\frac{\Delta Q}{\Delta x} \rightarrow \lambda=\frac{d q}{d x}\]
Para calcular esa derivada, basta con saber como la carga \(q(x)\) varía en función de \(x\).
Como vamos a calcular la densidad en un solo punto, no vamos a escribir mas \(\lambda_{\text {cable}}\), vamos a escribir \(\lambda(x)\), para cada valor de \(x\) posible.
Recordando que cada carga tiene \(1 m C\) y cada pedazo tiene \(1 m m\), vamos a tener lo siguiente:
\[\lambda(x)=x^{2} \frac{m C}{m m}=x^{2} \cdot \frac{10^{-3} C}{10^{-3} m}=x^{2} \frac{C}{m}\]
Supongamos que pregunto lo siguiente: cuanto de carga tenemos entre las posiciones \(x=1 m\) y \(x=2 m\)?
Para eso, la ecuación es:
\[\lambda(x)=\frac{d q}{d x} \rightarrow d q=\lambda(x) \cdot d x\]
\[Q=\int d q=\int_{1}^{2} \lambda(x) \cdot d x\]
Calculando:
\[\int_{1}^{2} \lambda(x) \cdot d x=\int_{1}^{2} x^{2} \cdot d x=\frac{\left(2^{3}-1^{3}\right)}{3}=\frac{7}{3} C\]
Integrando la densidad a lo largo de la longitud podemos obtener la carga total entre dos intervalos.
De la misma forma, si el cable tiene longitud \(L\) entonces, para saber la carga total basta que integremos entre \(0\) y \(L\):
\[\int_{0}^{L} \lambda(x) \cdot d x=\int_{0}^{L} x^{2} \cdot d x=\frac{L^{3}}{3}\]
Densidad de carga superficial \((\sigma)\) y densidad de carga volumétrica \((\rho)\)
Además de tener el caso de un cable, que tiene una única dimensión, también podemos tener un disco o un rectángulo, que tienen dos dimensiones, o incluso el caso de cuerpos tridimensionales, como esferas y cilindros.
La idea es la misma. En el caso de cuerpos con dos dimensiones, hablamos de densidad de carga superficial \((\sigma)\) y tenemos que derivar la cantidad de cargas en un pequeño pedazo bidimensional de cuerpo de área \(d A\):
\[\sigma=\frac{d q}{d A}\]
\(d A\) es un elemento infinitesimal de área. Por lo tanto,la carga en una determinada región es una integral de superficie:
\[Q_{2 D}=\int_{S} \sigma . d A\]
Lo mismo ocurre cuando tomamos cuerpos con volumen, es decir, con tres dimensiones. En ese caso, estamos hablando en densidad de carga volumétrica \((\rho)\), dada por:
\[\rho=\frac{d q}{d V}\]
Entonces, para calcular la carga total de un objeto tridimensional, basta con integrar en relación al volumen.
\[Q_{3 D}=\int_{V} \rho(P) \cdot d V\]
Solo eso.
Sin embargo, tenemos que entender cómo realizar estos cálculos en preguntas prácticas. Para ello vamos a dividir esa integración en 3 casos diferentes.
Integración en coordenadas rectangulares
El caso más simple para calcular la carga en un cuerpo a partir de su densidad superficial (caso de dos dimensiones) o de su densidad volumétrica (caso de tres dimensiones) es aquel en donde trabajamos con rectángulos o paralelepípedos.
Por ejemplo:
En la figura de arriba, queremos saber la carga dentro de la superficie \(D\). Sabiendo que la densidad de carga del cuerpo, en función de \(x\) y de \(y\) vale:
\[\sigma(x, y)=x^{2}+y^{3}\]
Para eso, necesitamos integrar en dos intervalos:
\[0 \leq x \leq 3\]
\[0 \leq y \leq 2\]
Con eso, nuestro problema se resuelve en una integral doble:
\[Q=\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{3}\right) \cdot d y \cdot d x=\int_{0}^{3}\left(x^{2} y+\frac{y^{4}}{4}\right)_{0}^{2} \cdot d x\]
\[Q=\int_{0}^{3}\left(2 x^{2}+\frac{2^{4}}{4}\right) \cdot d x=\left(2 \frac{x^{3}}{3}+\frac{2^{4}}{4} \cdot x\right)_{0}^{3}=18+12=30 C\]
Lo mismo se haría en el caso de un paralelepípedo de tres dimensiones. En ese caso tendríamos que hacer un integral triple, involucrando las variables \(x\), \(y\) y \(z\).
Por tanto, la integral doble y triple son integradas, respectivamente, por:
\[d A=d x . d y\]
\[d V=d x . d y . d z\]
Integración en coordenadas circulares, esféricas y cilíndricas
La cosa se torna distinta cuando el problema involucra la densidad superficial de discos y la densidad de carga volumétrica.
En esos casos, necesitamos saber expresar matemáticamente los elementos infinitesimales de área y volumen en objetos circulares.
Coordenadas Circulares:
Presta atención a la figura de abajo:
En ese disco, la densidad de carga superficial es dada mediante la siguiente función:
\[\sigma(r)=C r^{4}\]
Donde \(C\) es una constante. Nuestro trabajo aquí es calcular la carga total de ese disco, ¿okay?
Tenga en cuenta que ahora la densidad de carga se da en función del radio.
El primer paso es determinar el área infinitesimal \(d A\). Para ello, comenzamos mirando el área de la circunferencia de radio \(r\) (nuestra variable), dada por:
\[A=\pi r^{2}\]
Para calcular el valor del elemento infinitesimal de área, debemos derivar en relación al radio:
\[\frac{d A}{d r}=2 \pi r \rightarrow d A=2 \pi r . d r\]
Por tanto, el elemento de área es igual al producto entre la longitud del círculo rojo de la figura y la anchura infinitesimal azul \(d r\).
Como queremos calcular la carga total:
\[0 \leq r \leq R\]
Entonces:
\[Q=\int_{0}^{R} C r^{4} \cdot d A=C \int_{0}^{R} r^{4} \cdot(2 \pi r . d r)=2 \pi C \cdot \int_{0}^{R} r^{5} \cdot d r=\frac{C \pi R^{6}}{3}\]
Coordenadas Esféricas:
Cuando trabajamos con una esfera, el problema es bastante parecido. En este caso, el elemento de volumen es calculado de la siguiente manera:
\[V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \rightarrow \frac{d V}{d r}=4 \pi r^{2}\]
\[d V=4 \pi r^{2} . d r\]
Coordenadas Cilíndricas:
En ese caso, podemos tener mezcla de las dos situaciones anteriores.
Dos dimensiones del cilindro aumentan con el aumento de \(d r\), ese aumento es el mismo que podemos encontrar en el caso del disco \(d A=2 \cdot \pi \cdot r \cdot d r\).
En el eje del cilindro, tenemos una variación perpendicular al área \(d A\), de anchura \(d l\). De esa forma, el volumen infinitesimal será dado por:
\[d V=d A . d l=2 \pi . r . d r . d l\]
Aquí, la densidad de carga volumétrica será determinada en función de dos variables \(l\) y \(r\). Entonces, nuestro problema se reducirá a una integral doble:
\[\int_{l=0}^{L} \int_{r=0}^{R} \rho(h, R) . d V=\int_{l=0}^{L} \int_{r=0}^{R} \rho(h, R) .2 \pi . r . d r . d l\]
Las cuentas se parecerán mucho a la de los casos anteriores.
En caso de que la densidad de carga volumétrica dependa solamente del radio del cilindro, el volumen infinitesimal será dado por:
\[d V=2 \pi r L . d r\]
Donde \( L\) es la longitud del cilindro.
#VamosALosEjercicios! ;)
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