Conductor Cargado

Introducción

La ley de Gauss posee una interesante aplicación, además de poder calcular el Campo Eléctrico, y encontrar la respuesta a la siguiente pregunta: “¿un cuerpo X es conductor?”

Ley de Gauss y Conductores

Cuando un cuerpo es conductor y está eléctricamente cargado, las cargas se concentran en la superficie.

Podemos combinar eso junto con la Ley de Gauss, que nos da información sobre la carga total dentro de una superficie gaussiana cerrada a partir del conocimiento del flujo eléctrico total sobre esa gaussiana.

Tenemos lo siguiente: 

• Si \(\Phi_{e}=0\), entonces tenemos una carga total nula dentro de la superficie gaussiana;
• Si \(\Phi_{e}>0\), entonces tenemos una carga total positiva dentro de la superficie gaussiana;
• Si \(\Phi_{e}<0\), entonces tenemos una carga total negativa dentro de la superficie gaussiana.

Observemos un conductor muy de cerca y apliquemos la Ley de Gauss.

En la figura de abajo, un metal (que es un conductor)  está cargado con cargas positivas, que se concentran en su superficie. 

Lo primero que podemos observar, es lo siguiente: en la superficie gaussiana blanca, no tenemos cargas interiores, por eso el flujo eléctrico en esa superficie valdrá cero. 

Mientras que el campo en su interior, como podemos ver en la figura, vale:

\(E_{i n t}=0\)

Pero si tomamos una superficie gaussiana como la verdad, podremos encontrar un flujo eléctrico positivo.

Como el vector normal en la superficie es paralelo al campo eléctrico uniforme 

\(\Phi_{E}=A \cdot E \cdot \cos (0)=A \cdot E_{e x t}\)

Sin embargo, suponiendo que la densidad de carga superficial sobre el cuerpo metálico es constante, tenemos que:

\(\sigma . A=Q_{i n t}\)

Por lo tanto, podemos escribir la ley de Gauss de forma directa, sin hacer demasiadas cuentas:

\(\Phi_{E}=A \cdot E=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}=\frac{\sigma \cdot A}{\epsilon_{0}} \rightarrow E_{e x t}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}\)

¿Y si quisiéramos saber el valor del campo eléctrico exactamente sobre la superficie metálica?

En ese caso, debemos utilizar la media aritmética entre los campos eléctricos dentro y fuera del conductor cargado:

\(\operatorname{E_{EN\space{LA}\space{SUPERFICIE}}}=\frac{E_{I N T}+E_{E X T}}{2}=\frac{\sigma}{2 . \epsilon_{0}}\)

Esto sucede porque hay una transición entre el campo igual a cero y el campo igual a la densidad dividida por \(\in 0\), lo que nos hace considerar el valor medio cuando estamos exactamente en la situación límite.

Super genial, verdad? Vamos a los ejercicios!