ou

Este contenido es exclusivo para usuarios registrados.

¡Regístrese gratis en el portal de ingeniería más grande!

Política de privacidad

Calculisto

Capacidad de un Sistema

Introducción

Comencemos con los condensadores. Un condensador es un sistema constituido por dos conductores separados por un aislante o vacío. El aislante puede ser un plástico, aire, etc. El condensador más común es aquel formado por dos placas separadas por una distancia,\(d\), con vacío entre ellas:

Pero también podemos tener una esfera concéntrica con una corteza esférica (vacío o aire entre ellas).

 

 

O un cilindro concéntrico con una corteza cilíndrica (vacío o aire entre ellos).

 

La imagen es igual a la de las esferas :D

 

Hasta ahora probablemente hayas oído algo sobre que… En casi todas las aplicaciones prácticas, cada conductor comienza con carga total cero y al someterlos a una diferencia de potencial \(V\) se transfieren electrones de un conductor a otro. En ese caso, decimos que el condensador está siendo cargado.

 

Cuando se alcance el equilibrio, un conductor tendrá una carga \(Q\) y otro una carga \(-Q\), de forma que la carga total continúe siendo cero. Cuando decimos que un conductor almacena una carga \(Q\), nos estamos refiriendo al módulo de las cargas en cada conductor.

 

¿Cuál es el drama de este asunto? La fórmula de capacitancia.

 

Capacitancia  

Puede que la función del condensador no haya quedado clara hasta ahora. Entonces, ¿para qué sirve?. La idea es que almacenes cargas en él para usarlas después. Una vez, un técnico de Dell me dijo que el condensador era como una esponja de electricidad. Tenía razón.

 

La capacitancia no es más que la capacidad de un condensador para almacenar carga. Cuanto mayor sea la capacidad \(C\) más carga puede almacenar dicho condensador para una determinada tensión. Está definida de la siguiente manera:

 

\(C=\frac{Q}{V}\)

 

Recapitulando:

 

\(Q\) es el módulo de la carga almacenada en cada conductor;

 

\(V\) es el módulo de la diferencia de potencial entre los conductores. 

 

Si disminuye/aumenta la tensión, la carga correspondiente disminuirá/aumentará en la misma proporción.

 

Un hecho a resaltar sobre la capacitancia es el siguiente: es una constante que depende sólo de la geometría del condensador.

 

Que significa eso? Significa que no debemos ver conceptos nuevos, pues ya aprendimos a calcular la tensión entre dos puntos y a trabajar con distribuciones continuas de cargas. Si todavía no has visto estos conceptos, buscalos en nuestro material. 

 

Condensador de Placas Planas Paralelas

Una fórmula que vale la pena aprender es la del condensador más común de todos, el de placas planas paralelas, La fórmula de capacitancia viene dada por:

 

\(C=\epsilon_{0} \frac{A}{d}\)

 

Donde \(A\) es el área del plano del condensador y \(d\) es la distancia que las separa.

 

Mira, este de aquí! El mismo que vimos al inicio de la teoría.

Es un resultado que demostraremos en los ejercicios porque todo lo que se necesita para llegar a él ya ha sido estudiado en los capítulos anteriores. pero es importante destacar que tener esta fórmula en el bolsillo es bueno para resolver preguntas de opción múltiple rápidamente.

 

Otro punto a resaltar es: sólo es válida para condensadores de placas planas paralelas. Si fueran dos esferas o dos cilindros, o bien dos placas planas no paralelas, la fórmula ya no serviría.

 

Calculo de Capacitancia

Pero, ¿cómo hacemos cuando el condensador sea una sección diferente, como dos cilindros o dos esferas?

No te voy a aburrir con un montón de procedimientos absurdos, te mostraré el camino y luego te daré las fórmulas, así que no te estreses, si?

 

Para calcular la capacitancia, son básicamente 3 pasos:

 

Paso 1: Calcular el campo eléctrico 

 

Para calcularlo, vamos a utilizar la Ley de Gauss… 

 

\(\oiint_{G} \vec{E} \bullet d \vec{A}=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}\)

 

La mayoría de las veces, la Ley de Gauss se reduce a:

 

\(E A=\frac{q}{\epsilon_{0}}\)

 

Esto dependerá únicamente de la forma de tu condensador, por ejemplo:

 

  • Si el condensador es cilíndrico, la gaussiana también será cilíndrica y con un área igual a \(A=2 \pi r L\);

  • Si el condensador es esférico,  la gaussiana también será una esfera con un área igual a \(A=4 \pi r^{2}\).

 

Paso 2: Calcular el potencial eléctrico

 

Una vez que hayamos encontrado el campo eléctrico, debemos calcular el potencial eléctrico, echa un vistazo:

 

\(V=-\int_{i}^{f} E d r\)

 

Hacemos esta integral donde los límites son el valor más bajo de \(r\) y el valor más alto de \(r\).

 

Paso 3: Calcular la capacitancia

 

Ahora que ya encontramos \(V\), simplemente usamos la relación:

 

\(C=\frac{Q}{V}\)

 

Y ser feliz!!

 

La verdad, es que no tengo ganas de romperme la cabeza con integrales (aunque son fáciles de resolver), y espero que tu tampoco. 

 

Así que te voy a poner en el punto de mira, presta atención:

 

Condensador Cilíndrico:

 

Formado por dos cilindros coaxiales de radios \(a\) y \(b\), donde \(b>a\) y de longitud \(L\).

 

\(C_{C}=2 \pi \epsilon_{0} \frac{L}{\ln \left(\frac{b}{a}\right)}\)

 

Condensador Esférico:

 

Formado por dos cortezas esféricas de radios \(a\) y \(b\), donde \(b>a\).

 

\(C_{E}=4 \pi \epsilon_{0} \frac{a b}{b-a}\)

 

Entonces, amigos!! NO DEJEN de pasar por los ejercicios, allí encontrarán diversos problemas relacionados a distintas situaciones, inclusive, para aquellos que no quieren memorizar las fórmulas, les mostramos cómo resolver los principales casos de capacitancia. #VAMONOS.

Hay un error?

Todos los Resúmenes