Ley de Gauss – Simetría

Introducción

La Ley de Gauss nos dice que el flujo de campo en una superficie cerrada alrededor de una región es igual a la razón entre la carga interna y la constante \(\in_{0}\).

Hasta ahí, todo bonito! Pero, ¿podemos utilizar la Ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por un cuerpo de distinta forma, como una esfera, un cilindro o un plano?!

 

Si! Y es justamente lo que haremos aquí.

 

Lo primero que tenemos que entender es que esto pasa directamente por la superficie gaussiana que utilizaremos.

 

De esa forma, buscaremos superficies gaussianas que obedezcan a dos reglas:

 

• El campo debe ser ortogonal a todo los puntos de la superficie;

• El módulo de campo que atraviesa la superficie debe ser igual en todos los puntos de la misma (o casi todos, en el caso de cuerpos infinitos).

 

“¿Pero, por qué?”

 

Porque cuando esto pasa , por la primera regla, los vectores \(\widehat{n}\) y \(\vec{E}\) serán paralelos, lo que simplifica el producto escalar de la fórmula. Y, por la segunda regla, si el módulo del campo eléctrico es constante, podemos sacarlo de la integral de superficie, presta atención:

 

\(\Phi_{e}(\vec{E})=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}=\oint_{G} \widehat{n} \bullet \vec{E} \cdot d A=\oint_{G} E \cdot d A=E \oint_{G} d A=E \cdot A_{G} \rightarrow E=\frac{\Phi_{e}}{A_{G}}\)

 

\(E=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0} A_{G}}\)

 

A fin de cuentas, el problema se reduce al cálculo de un área: una esfera, un cilindro o un plano!

 

En esta oportunidad veremos cada caso. 

 

Un detalle importante! Probablemente su reacción al ver la barra de desplazamiento fue esta:

Pero, calma! Es importante resaltar que nos centraremos en lo que la mayoría de las preguntas acerca del tema piden: demostrar el cálculo del campo eléctrico.

 

Comencemos!

 

Simetría Esférica en Esfera Maciza

Lo que tenemos aquí es una esfera maciza de radio \(R\) con una densidad volumétrica \(\rho\) constante (es decir, carga uniformemente distribuida en la esfera).

Nuestro objetivo es calcular el campo eléctrico dentro (gaussiana azul) y fuera (gaussiana verde) de la esfera, como indica la figura:

La simetría esférica también es llamada simetría radial.

 

Aplicando gaussianas esféricas, como en la figura de arriba, estamos obedeciendo a las dos reglas que estipulamos hace poco. Siendo así, el campo eléctrico puede ser escrito de la siguiente forma:

 

\(E=\frac{Q_{\text {int}}}{\epsilon_{0} A_{e s f}}=\frac{Q_{\text {int}}}{\epsilon_{0} \cdot 4 \pi r^{2}}\)

 

Donde \(r\) corresponde al radio de la gaussiana.

 

Hecho eso, vamos a calcular la carga interna para las dos regiones que estamos interesados. Lo único que va a cambiar de una a otra es justamente la carga interna \(Q_{i n t}\) comprendida por la gaussiana. 

 

Gaussiana azul \(\left(r_{1} \leq R\right)\):

 

Esta gaussiana comprende solo la parte cargada de la esfera, por lo que utilizaremos la densidad de carga volumétrica, asociada al volumen de la gaussiana, para determinar la carga \(Q_{i n t}\). En este caso: 

 

\(Q_{i n t}=\rho \cdot \frac{4 \pi r_{1}^{3}}{3}\)

 

Donde \(\left(\frac{4 \pi r_{1}^{3}}{3}\right)\) corresponde al volumen de gaussiana esférica.  

 

Sustituyendo esto en la expresión de campo eléctrico, tenemos:

 

\(E_{1}=\left(\rho \cdot \frac{4 \pi r_{1}^{3}}{3}\right) \cdot \frac{1}{\epsilon_{0} \cdot 4 \pi r_{1}^{2}}\)

 

\(E_{1}=\frac{1}{3} \cdot \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \cdot r_{1}\)

 

Gaussiana verde \(\left(r_{2} \geq R\right)\):

 

En este caso, la gaussiana comprende toda la esfera cargada. Por tanto, la carga interna será: 

 

\(Q_{i n t}=\rho \cdot \frac{4 \pi R^{3}}{3}\)

 

Donde \(\left(\frac{4 \pi R^{3}}{3}\right)\) corresponde al volumen de la esfera cargada.

 

Sustituyendo esto en la expresión de campo eléctrico,tenemos:

 

\(E_{2}=\left(\rho \cdot \frac{4 \pi R^{3}}{3}\right) \cdot \frac{1}{\epsilon_{0} \cdot 4 \pi r_{2}^{2}}\)

 

\(E_{2}=\frac{1}{3} \cdot \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \cdot \frac{R^{3}}{r_{2}^{2}}\)

 

Muchas preguntas piden dibujar un gráfico del campo eléctrico en función del radio \(r\) de la gaussiana elegida. Les gusta mucho colocar este tipo de preguntas en los exámenes ya que el gráfico generado tiene dos partes: la parte relacionada a la gaussiana azul y la parte relacionada a la gaussiana de fuera de la esfera. 

Bien! Ahora, vamos a echar un vistazo al caso de la corteza esférica uniformemente cargada.

 

Simetría Esférica en Corteza Uniformemente Cargada.

Esto no es más que un caso especial de lo que hicimos antes. Ahora, tenemos una corteza esférica de radio interno \(R_{1}\), radio externo \(R_{2}\) con una densidad volumétrica \(\rho\) constante (es decir, carga uniformemente distribuida en la esfera).

Nuestro objetivo es calcular el campo eléctrico en la cavidad  (gaussiana azul), dentro (gaussiana verde) y fuera (gaussiana roja) de la esfera, como indica la figura:

 

Al aplicar gaussianas esféricas, tendremos lo mismo que el anterior. De esa forma, podemos escribir el campo eléctrico de la siguiente manera:

 

\(E=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0} A_{e s f}}=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0} \cdot 4 \pi r^{2}}\)

 

Donde \(r\) corresponde al radio de la gaussiana. 

 

Hecho eso, vamos a calcular la carga interna para las dos regiones en las que estamos interesados.

 

Gaussiana azul \(\left(r_{1} \leq R_{1}\right)\):

 

En este caso, la gaussiana no comprende ninguna parte cargada de la corteza esférica. Siendo así, la carga interna será nula.Entonces:

 

\(Q_{i n t}=0\)

 

\(E_{1}=0\)

 

No hay misterio hasta aquí, cierto?

 

Gaussiana verde \(\left(R_{1} \leq r_{2} \leq R_{2}\right)\):

 

Esta gaussiana comprende solamente la parte cargada de nuestra corteza esférica. Entonces, nuevamente, utilizaremos la densidad de carga volumétrica asociada al volumen comprendido.

 

Siendo así:

 

\(Q_{i n t}=\rho \cdot \frac{4 \pi}{3} \cdot\left(r_{2}^{3}-R_{1}^{3}\right)\)

 

Sustituyendo en la expresión de campo eléctrico:

 

\(E_{2}=\rho \cdot \frac{4 \pi}{3} \cdot\left(r_{2}^{3}-R_{1}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\epsilon_{0} \cdot 4 \pi r_{2}^{2}}\)

 

\(E_{2}=\frac{1}{3} \cdot \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \cdot \frac{\left(r_{2}^{3}-R_{1}^{3}\right)}{r_{2}^{2}}\)

 

Gaussiana roja \(\left(r_{3} \geq R_{2}\right)\):

 

Finalmente, en este caso la gaussiana comprende toda la corteza esférica. En consecuencia, la carga interna será la carga total del cuerpo, entonces: 

 

\(Q_{i n t}=\rho \cdot \frac{4 \pi}{3} \cdot\left(R_{2}^{3}-R_{1}^{3}\right)\)

 

Finalmente, el campo eléctrico será.

 

\(E_{3}=\frac{1}{3} \cdot \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \cdot \frac{\left(R_{2}^{3}-R_{1}^{3}\right)}{r_{3}^{2}}\)

 

Simetría Cilíndrica

Cuando tenemos hilos o cilindros infinitos, usamos una superficie gaussiana cilíndrica alrededor del objeto cargado.

Por la simetría cilíndrica, el campo eléctrico generado en cada punto de la gaussiana es igual y apunta hacia afuera de la superficie lateral del cilindro, como podemos ver en la figura de abajo:

Además de eso, el campo está, en toda las posiciones, orientado en el mismo sentido que el vector normal \(\vec{n}\). Esto no ocurre en la caras laterales del cilindro, en ellas el vector normal es perpendicular al campo eléctrico.

 

Por tanto, el área que tomamos en consideración a la hora de calcular el módulo del campo eléctrico debe ser solamente la superficie lateral del cilindro. 

 

Así:

 

\(E=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0} A_{l a t}}=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0} \cdot 2 \pi r L}\)

 

Donde \(L\) corresponde a la longitud de la gaussiana cilíndrica. 

 

Para calcular la carga \(Q_{i n t}\) en el interior de la gaussiana basta con saber cómo esa carga está distribuida en el cuerpo cilíndrico. Entonces, trabajaremos con dos posibilidades: densidad de carga volumétrica constante \((\rho)\) y densidad de carga lineal constante \((\lambda)\).

 

Densidad de carga volumétrica constante \((\rho)\):

 

En este caso, la carga está uniformemente cargada distribuida en todo el volumen, siendo así:

 

\(Q_{i n t}=\rho \cdot \pi R^{2} L\)

 

Sustituyendo en la expresión de campo eléctrico, tenemos:

 

\(E=\rho . \pi R^{2} L \cdot \frac{1}{\epsilon_{0} \cdot 2 \pi r L}\)

 

\(E=\frac{1}{2} \cdot \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \cdot \frac{R^{2}}{r}\)

 

Densidad de carga lineal constante \((\lambda)\):

 

Si tuviéramos un hilo con densidad lineal \((\lambda)\) de carga constante, básicamente tendríamos lo mismo. La carga interior \(Q_{i n t}\), sin embargo, se expresaría de otra manera: 

 

\(Q_{i n t}=\lambda L\) 

 

De esa forma, tendríamos la siguiente expresión para el campo eléctrico: 

 

\(E=\lambda L \cdot \frac{1}{\epsilon_{0} \cdot 2 \pi r L}\)

 

\(E=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r}\)

 

Si el hilo fuese un conductor, las cargas se distribuirían en la superficie y ahí deberíamos hablar de densidad de cargas superficial, pero el problema sería parecido.

 

Pero una cosa: si la densidad de cargas no fuera constante, debemos integrar para descubrir las cargas internas. 

 

Simetría Planar

En este caso, la idea es la siguiente: imaginemos una placa infinita, delgada, cargada con densidad superficial \(\sigma\) constante (o sea, carga uniformemente distribuida en la placa). 

 

Queremos calcular el campo eléctrico a una distancia \(Z\) de la placa. Por tanto, escogemos un paralelepido como gaussiana, como podemos ver en la figura de abajo:

Tenga en cuenta que sólo tenemos flujo de campo eléctrico en las caras superior e inferior del paralelepípedo que elegimos como gaussiana.

 

En los laterales, el campo eléctrico hace un ángulo de \(90^{\circ}\) con el vector normal (el vector campo eléctrico es paralelo a las caras laterales), lo que hace que el flujo sea cero. Podemos visualizar eso en el esquema de abajo:

Además, el flujo del campo eléctrico es el mismo en las superficies superior e inferior:

 

\(\Phi_{s u p}=\Phi_{i n f}=\vec{E} \bullet \widehat{n} . A=E . A\)

 

Donde el área \((A)\) viene dada por:

 

\(A=\Delta X . \Delta Y\)

 

Sin embargo, como el campo eléctrico atraviesa las caras superior e inferior, el área total que debemos considerar será la suma de las áreas de esas dos caras. 

 

\(A_{\text {total}}=\mathrm{A}_{\text {sup}}+\mathrm{A}_{\text {inf}}=2 . A\)

 

Sustituyendo en la expresión de campo eléctrico, tenemos que:

 

\(E=\frac{Q_{\text {int}}}{\epsilon_{0} \cdot A_{\text {total}}}=\frac{Q_{\text {int}}}{\epsilon_{0} \cdot 2 \cdot A}\)

 

Ya casi terminamos!

 

Cuando trabajamos con planos cargados, es muy común utilizar el concepto de densidad de cargas superficial \((\sigma)\). En ese caso (y en la mayoría de los problemas), como la carga está uniformemente distribuida, podemos escribir que:

 

\(\sigma=\frac{Q_{i n t}}{A}\)

 

Finalmente:

\(E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}\)

 

Después de todo, el campo eléctrico no depende de la distancia \(Z\).

 

Para finalizar, podemos calcular el campo eléctrico de un capacitor formado por dos placas infinitas paralelas, una cargada positivamente y otra negativamente. 

 

Sabemos que el campo eléctrico es generado por una placa plana, ¿cierto? Basta con sumar los campo generados por cada una de las placas.

Las dos placas poseen la misma densidad de cargas superficial en módulo. Pero una de las placas es positiva (placa superior, naranja) y otra de ellas es negativa (placa inferior, azul). 

 

Las dos generan campos uniformes. Sin embargo las flechas del campo generado por la placa positiva salen de la misma mientras que las flechas del campo negativo entran en la placa azul.

 

De cualquier forma, en módulo, el campo es el mismo:  

 

\(E_{a z u l}=E_{n a r a n j a}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}\)

 

Podemos notar algo genial: los campos se suman en medio de las dos placas (región del punto \(B\)). En la región del punto \(A\) o en la región del punto \(C\), los campos se cancelan. Entonces:

 

\(E_{A}=E_{C}=0\)

 

En el punto \(B\), el campo valdrá el doble de lo que hallamos en el caso de una sola placa cargada:

 

\(E_{B}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}\)

 

 

Otras Superficies

 

¿Qué sucede si la simetría del problema no es una de las que estudiamos en este tópico?

Como ya habíamos dicho, una gaussiana con forma de kiwi no es muy apropiada para calcular el flujo de un campo uniforme:

Ya que los ángulos normales del kiwi se alteran con relación al campo eléctrico,que está siempre en la misma dirección. Eso sin hablar de los módulos: el módulo del campo en el pico del kiwi no es igual al módulo del campo en su espalda. 

 

Pero si, por casualidad, el campo fuera generado de una manera muy distinta y emanara en forma de Kiwi y tuviera un módulo constante a lo largo de su silueta, tendríamos:

 

\(E=\frac{Q_{\text {int}}}{\epsilon_{0} \cdot A_{\text {kiwi}}}\)

 

Y esa es, precisamente, la idea para resolver este tipo de problemas en los casos más generales!

 

¿Que tal si hacemos unos ejercicios para entender esto mejor?

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