Ley de Coulomb

Introducción

Hemos visto como dos cuerpos cargados eléctricamente pueden atraerse o repelerse, cierto? Pero ¿cómo calcular exactamente cuánto vale esa fuerza de atracción o de repulsión entre las cargas? Para eso necesitamos de la ley de Coulomb!!

La ley de Coulomb

Considere dos cargas puntiformes positivas que están separadas por una distancia d.

Existe una fuerza eléctrica que actuará sobre cada una de esas cargas y el módulo de la fuerza eléctrica entre esas dos cargas \(Q_{1}\) y \(Q_{2}\), separadas por una distancia d, es dado por la siguiente fórmula:

\[F_{e}=K \cdot \frac{\left|Q_{1}\right| \cdot\left|Q_{2}\right|}{d^{2}}\]

Donde \(F_{e}\) es la fuerza eléctrica y \(K\), la constante electrostática. Y esa es la llamada Ley de Coulomb.

No hace falta decir que, como estamos interesados en el módulo de la fuerza eléctrica, utilizamos solamente el módulo de la cargas \(Q_{1}\) y \(Q_{2}\), sin importar sus signos. 

Uy! Pero la fuerza eléctrica es un vector y, por lo tanto, necesitamos saber cómo determinar su dirección y sentido también.

Su dirección es la misma que la línea recta que conecta los centros de los dos cuerpos en cuestión.

Ya hemos visto que la fuerza eléctrica puede ser de atracción (cargas de signos opuestos) o de repulsión (cargas de signo iguales) y, por lo tanto, para nuestro ejemplo, su sentido se da según la figura de abajo.

Es válido observar que, como el módulo de las cargas sigue siendo el mismo, la fuerza aplicada en ambas cargas posee el mismo módulo, pero con sentidos opuestos!

Recordando que estamos considerando la orientación positiva aquella que parte de izquierda a derecha, y por eso la fuerza que actúa sobre la carga de la izquierda es negativa, pero eso es solo una convención!

Ahora podemos extender la interacción entre dos cargas negativas y diferentes cargas. El módulo seguirá siendo dado por la Ley de Coulomb y la dirección y sentido serán como en la siguiente figura.

Observando la fórmula, podemos decir que la fuerza eléctrica descrita por la Ley de Coulomb es:

• Directamente proporcional a la carga de los cuerpos: si duplicamos una de las cargas, duplicamos la fuerza.
• Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas: si duplicamos la distancia (o sea, usamos \(2 d\) en lugar de \(d\)), dividiremos la fuerza por \(2^{2}=4\).

La Ley de Coulomb también puede ser representada en su forma vectorial:

\[\vec{F}_{e}=K \frac{Q_{1} Q_{2}}{r^{2}} \hat{r}\]

Dónde \(\hat{r}\) es el vector unitario con dirección recta que interconecta los centros de los cuerpos y el sentido dado por el análisis de las cargas (si tienen el mismo signo o no).

Constante Electrostática

Finalmente, vamos a entender quién es la constante electrostática, \(K\).

Para eso vamos a determinar dos cosas: las unidades de \(K\) en el Sistema Internacional y el valor de \(K\) en ese mismo sistema.

Para calcular las unidades, basta con trabajar en la Ley de Coulomb con las unidades que ya conocemos:

• La unidad \([Q]\) de la carga es coulomb \((C)\);
• La unidad \([d]\) de la distancia es metro \((m)\);
• La unidad \([F]\) de la fuerza es newton \((N)\).

Queremos saber la unidad \([K]\) de la constante electrostática. Sustituyendo en la ecuación de la Ley de Coulomb, tenemos:

\[[F]=[K] \cdot \frac{[Q]^{2}}{[D]^{2}} \rightarrow[K]=\frac{[F] \cdot[D]^{2}}{[Q]^{2}}=\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}\]

El valor de \([K]\), expreso en la unidad anterior, es determinado experimentalmente. En el vacío (caso general considerado en los problemas), lo llamaremos \(K_{0}\), y ese valor es:

\[K_{0} \approx 9.10^{9} \frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}\]

Esa constante \(K_{0}\) también se puede expresar de otra forma, en función de una nueva constante \(\epsilon_{0}\) denominada permitividad eléctrica. También en el vacío, tenemos:

\[K_{0}=\frac{1}{4 . \pi . \epsilon_{0}}\]

Eso nos dice que

\[\epsilon_{0}=\frac{1}{4 . \pi . K} \approx 8,85.10^{-12} \cdot \frac{C^{2}}{N \cdot m^{2}}\]

Tenga en cuenta que, como la permitividad se calcula como la inversa de \(K_{0}\), su unidad es exactamente la inversa de la unidad de \(K_{0}\) (es decir,  \(\left[K_{0}\right]^{-1}\))

Entonces, podemos reescribir la ley de Coulomb de la siguiente forma (a veces es aplicada en muchas preguntas de examen):

\[F_{e}=K_{0} \cdot \frac{\left|Q_{1}\right| \cdot\left|Q_{2}\right|}{d^{2}}=\frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \cdot \frac{\left|Q_{1}\right| \cdot\left|Q_{2}\right|}{d^{2}}\]

Fuera del vacío, en otro material, debemos cambiar las constante \(K_{0}\) y \(\epsilon_{0}\) y utilizar \(K_{m}\) y \({\epsilon}_{m}\), resultando en:

\[F_{e}=K_{m} \cdot \frac{\left|Q_{1}\right| \cdot\left|Q_{2}\right|}{d^{2}}=\frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{m}} \cdot \frac{\left|Q_{1}\right| \cdot\left|Q_{2}\right|}{d^{2}}\]

Donde \(K_{m}\) representa la constante electrostática del material y \({\epsilon}_{m}\) representa la permitividad eléctrica del material.

Así que atención! 

• Cuando se habla de permitividad, nos estamos refiriendo a la constante \(\epsilon\).
• Cuando se habla de constante electrostática, nos estamos refiriendo a la constante \(K\).

Pero, ¿y si tuviéramos más de dos cargas interactuando?

Imaginemos el siguiente ejemplo: dadas tres cargas en la figura de abajo, nuestra misión aquí es calcular el módulo de la fuerza eléctrica resultante sobre la carga \(A\).

Se sabe que los módulos de carga \(A\), \(B\) y \(C\) valen \(1 C\), \(2 C\) y \(3 C\), respectivamente. El ángulo \(B \hat{A} C\) vale \(60\) grados.

Solución: Para resolver, debemos representar, primero, la fuerzas actuantes en A, que tiene direcciones del segmento \(\overline{A B}\) y del segmento \(\overline{A C}\). Como ya vimos, las cargas de A y B se atraerán, ya que signos opuestos se atraen. Lo mismo es válido para las cargas en A y C. 

Por la ley de Coulomb podemos calcular los módulos de las fuerzas \(\vec{F}_{A B}\) y \(\vec{F}_{A C}\):

\[\left|\vec{F}_{A B}\right|=K_{0} \cdot \frac{\left|Q_{A}\right| \cdot\left|Q_{B}\right|}{2^{2}}=K_{0} \cdot \frac{1.2}{2^{2}}=\frac{K_{0}}{2}\]

\[\left|\vec{F}_{A C}\right|=K_{0} \cdot \frac{\left|Q_{A}\right| \cdot\left|Q_{c}\right|}{3^{2}}=K_{0} \cdot \frac{1.3}{3^{2}}=\frac{K_{0}}{3}\]

Dejémoslo para sustituir el valor de la constante \(K_{0}\) al final del ejercicio.Así es más facil trabajar con los números. 

Ahora, para obtener la fuerza eléctrica resultante sobre la carga A tenemos que sumar las dos fuerzas, pero como es una suma vectorial tenemos que aplicar la regla del paralelogramo para sumar los vectores. 

\[\left|\vec{F}_{R}\right|^{2}=\left|\vec{F}_{A B}+\vec{F}_{A C}\right|^{2}\]

Como conocemos los módulos de las fuerzas y el ángulo formado entre ellas, podemos usar la ley de los Cosenos para calcular el módulo del vector resultante.

Entonces tendremos lo siguiente:

\[\left|\vec{F}_{R}\right|^{2}=\left|\vec{F}_{A B}\right|^{2}+\left|\vec{F}_{A C}\right|^{2}-2 \cdot\left|\vec{F}_{A B}\right| \cdot\left|\vec{F}_{A C}\right| \cdot \cos \left(120^{\circ}\right)\]

Sustituyendo todos los datos que tenemos:

\[\left|\vec{F}_{R}\right|^{2}=\frac{K_{0}^{2}}{2^{2}}+\frac{K_{0}^{2}}{3^{2}}-2 \cdot \frac{K_{0}}{2} \cdot \frac{K_{0}}{3} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=K_{0}^{2} \cdot\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{6}\right)=\frac{19 K_{0}^{2}}{36}\]

Luego:

\[F_{R}=\left|\vec{F}_{R}\right|=\sqrt{\frac{19 K_{0}^{2}}{36}}=K_{0} \cdot \frac{\sqrt{19}}{6}=\frac{9.10^{9} \cdot \sqrt{19}}{6}=\frac{3.10^{9} \cdot \sqrt{19}}{2} N\]

Tenga en cuenta que sumamos la contribución individual de la carga \(B\) sobre la carga A y de la carga C sobre la carga A. Ese es el teorema de superposición.

Según este teorema, basta con hacer la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo para descubrir la fuerza resultante. 

Bueno, eso es todo. =]