Concavidad

En este capítulo, veremos una serie de herramientas más para que tú logres realizar un esbozo de la gráfica de una función, lo más aproximado que te sea posible.

En este apartado introduciremos el concepto de concavidad, que se encuentra ligado al estudio de la derivada segunda.

Pero primero, ¿Qué es concavidad? 

Bien, te daré una idea intuitiva: la concavidad es la curvatura que posee una línea.

Para comprender mejor esta idea, llevada al universo de las funciones, observa los siguientes gráficos:

La gráfica que tienes a la izquierda (en rojo) corresponde a una función que es cóncava hacia abajo y, la de la derecha (en azul), cóncava hacia arriba. También a la de la izquierda se la suele llamar simplemente cóncava y la de la derecha, convexa.

Y te estarás preguntando, ¿Cómo es que interviene la derivada segunda en todo esto? Bueno resulta que cuando la derivada segunda tiene signo positivo, la curva de la gráfica de la función es cóncava hacia arriba. Mientras que cuando la derivada segunda posee signo negativo, la función es cóncava hacia abajo.

Ahora veremos algo de teoría con la siguiente “Regla de la derivada segunda”:

• Si \({f}''(x)> 0\) en un intervalo \(\left [ a.b \right ]\), entonces la función \(f\) es cóncava hacia arriba en ese intervalo.

• Si \({f}''(x)< 0\) en un intervalo \(\left [ a.b \right ]\), entonces la función \(f\) es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Seguramente recuerdas haber visto la función cuadrática, cuyo gráfico es una parábola y la forma general de su ecuación es:

\[f(x)=a x^{2}+b x+c\]

Es un polinomio de segundo grado. Y, según el signo del coeficiente principal \(a\), la concavidad de la parábola es hacia arriba cuando \(a>0\) ó hacia abajo cuando \(a<0\).

Algo que indudablemente te puede llegar a la memoria es que la parábola tenía algunos sentimientos por ahí a la vista. Esto era cuando decíamos que estaba triste o feliz.

Si todavía no lo tienes, te pediré que, con un poco de imaginación, observes los siguientes gráficos:

Cuando \(a>0\), dibujando dos puntos sobre la parábola, podemos ver una cara feliz. Osea que la función es cóncava hacia arriba cuando está feliz:

Cuando \(a<0\), agregando unos ojos, verás una cara triste. Y, en este caso, la función es cóncava hacia abajo:

De esta forma, la concavidad únicamente depende del signo de “\(a\)”. Pero exploremos más a fondo esta regla aplicando la “Regla de la derivada segunda” y veamos qué sucede cuando derivamos dos veces la ecuación general de la función cuadrática:

\[f(x)=a x^{2}+b x+c\]

\[{f}'(x)=2 a x+b\]

\[{f}''(x)=2 a\]

La regla de la derivada segunda nos dice que la concavidad es hacia arriba para todos los valores del dominio tales que \({f}''(x)> 0\) y hacia abajo cuando se cumpla que \({f}''(x)<0\).

En este caso:

\[{f}''(x)>0 \Rightarrow 2 a>0\]

\[{f}''(x)<0 \Rightarrow 2 a<0\]

¿Y con esto qué conclusión podemos sacar?. Analiza un segundo la situación: como el signo de “\(2a\)” solo depende del signo de “\(a\)”, entonces la regla que te decía que la concavidad de una cuadrática solo depende del signo de su coeficiente principal “\(a\)”, es una consecuencia de la “Regla de la derivada segunda”.

Osea que ahora tienes una más de las herramientas fundamentales para confeccionar el dibujo del gráfico de una función :)

Otro elemento importante, para la construcción de las gráficas, es el punto de inflexión. Este es un punto singular donde la función cambia su concavidad. Y de seguro te estarás preguntando: ¿cómo encuentro este punto?. Muy simple. Solo basta con encontrar las raíces de la derivada segunda!

Te propongo el siguiente ejemplo donde tendremos una función con un punto de inflexión y podrás contemplar a la regla de la derivada segunda en acción:

Te presento a la función \(f(x)=x^{3}\), en cuya gráfica se puede observar claramente que su concavidad cambia justo en el origen de coordenadas:

Apliquemos la “Regla de la derivada segunda” y veamos qué sucede:

\[{f}'(x)=3 x^{2}\]

\[{f}''(x)=6 x\]

Ahora debes analizar el signo de la derivada segunda. Para lo cual hay que hallar los valores de “\(x\)” donde la derivada segunda se anula, es decir que tienes que hallar las raíces de \({f}''(x)\). O sea:

\[{f}''(x)=0\Leftrightarrow x=0\]

Luego, si \(x\in\left ( -\infty ,0 \right )\), entonces \({f}''(x)< 0\), y por lo tanto tendremos un intervalo donde la función es cóncava hacia abajo. Mientras que si \(x\in\left (  0,\infty \right )\), entonces \({f}''(x)> 0\) y la función es cóncava hacia arriba.

De un intervalo a otro podemos observar un cambio de concavidad.

En consecuencia, tal como también puedes ver en el dibujo de la gráfica de \(f\), en el punto donde \(x=0\) hay un punto de inflexión.

Resumiendo: para conocer la concavidad de una función debes hallar la expresión de su derivada segunda y, siguiendo la “Regla de la derivada segunda”, analizar su signo. 

Los puntos donde la derivada segunda, a la izquierda y a la derecha, presenta cambios de signo, es porque se produce un cambio de concavidad. Dichos puntos se los llaman puntos de inflexión.