Optimización - Casos clásicos

Pitágoras

Supongamos que una nadadora quiere ir de un punto inicial A, de un lado del río, hacia un punto final B, del otro lado del río. Donde el último punto mencionado está a una distancia horizontal de \(50 m\) del punto A.

El río tiene 10 metros de un margen al otro. La nadadora puede caminar una parte del trayecto por el margen y nadar lo que resta del camino; o nadar todo el recorrido si así lo prefiere. Si camina a un ritmo de \(5 \tfrac{m}{seg}\) y nada a una velocidad de \(3 \tfrac{m}{seg}\), ¿Cuál es el mejor trayecto para que el tiempo de recorrido sea el mínimo?

La inquietud que te debe surgir seguramente es sobre cuál será la función que tienes que optimizar… ¡A no preocuparse de más que en seguida lo veremos!

En la mayoría de los problemas de optimización, la función a optimizar y otras ecuaciones no son proporcionadas en el enunciado. Entonces, vamos a tener que analizar el problema y encontrar la función a optimizar y otras ecuaciones.

1º paso: hacer un dibujo que refleje la situación del problema y asignar variables a las cantidades que aparecen.

El esquema del río es el siguiente:

2º paso: describir las relaciones entre las variables del problema.

Vamos a adoptar a “\(x\)” como la variable del problema e intentaremos encontrar la relación entre “\(c\)” y “\(x\)”. 

En el dibujo tenemos un triángulo rectángulo. Por ello podemos usar Pitágoras:

\[c=\sqrt{x^{2}+100}\]

Vale aclarar que “\(c\)” es la distancia que nada la nadadora. Seguidamente, ¿Cuál es la distancia que ella caminará?. Si el margen tiene una longitud de 50 metros, entonces la distancia que ella camina por tierra es: \(50 m-x\)

3º paso: escribir la función a ser maximizada (o minimizada) en función de una de las variables del problema.

Ahora sí, observando el problema, llegamos a que la función a optimizar es el tiempo:

\[t(x)=\Delta t_{\text { tierra }}+\Delta t_{\text {río}}\]

Recordando algunas nociones de física de la escuela secundaria y sustituyendo tendremos:

\[v_{\text {tierra}}=\frac{\Delta S_{\text {tierra}}}{\Delta t_{\text {tierra}}} \Rightarrow \Delta t_{\text {tierra}}=\frac{\Delta S_{\text {tierra}}}{v_{\text {tierra}}}=\frac{(50-x)}{5}\]

Donde \(v_{\text {tierra}}\) y \(\Delta S_{\text {tierra}}\) son la velocidad de desplazamiento y la distancia recorrida, respectivamente, de la nadadora cuando camina. Y \(\Delta t_{\text {tierra}}\) el tiempo que le toma realizar ese recorrido.

De idéntica forma, podemos encontrar la expresión para el tiempo que le lleva recorrer el trayecto nadando:

\[v_{\text{rio}}=\frac{\Delta S_{\text{rio}}}{\Delta t_{\text{rio}}}\Rightarrow \Delta t_{\text{rio}}=\frac{\Delta S_{\text{rio}}}{v_{\text{rio}}}=\frac{c}{3}=\frac{\sqrt{x^{2}+100}}{3}\]

Luego, el tiempo total va a estar dado por la suma de los tiempos:

\[t(x)=\frac{(50-x)}{5}+\frac{\sqrt{x^{2}+100}}{3}=\frac{3(50-x)+5 \sqrt{x^{2}+100}}{15}\]

A partir de aquí, es solo hacer como en la teoría inicial de optimización!

4º paso: derivar la función y hallar los puntos críticos para encontrar los puntos donde hay máximos o mínimos.

5º paso: verificar si el punto hallado es un extremo (máximo o mínimo) local o global.

Recuerda que cabe la posibilidad de que exista algún punto donde la función toma valores mayores o menores que en el punto encontrado anteriormente con los puntos críticos. Para ésto, prueba los extremos del intervalo del dominio o estudia su comportamiento tomando límites.

Distancia de un punto a una función

Observa el siguiente gráfico de las dos funciones \(f\) y \(g\):

Si te pidieran hallar la menor distancia entre las dos funciones, siendo \(A=\left(x_{A}, y_{A}\right)\) un punto de \(f\) cualquiera y \(B=\left(x_{B}, y_{B}\right)\) un punto de \(g\) cualquiera, ¿Por dónde empezarías? 

Vamos a iniciar dibujando algo más en el gráfico anterior de las dos funciones:

Donde \(d_{AB}\) es la distancia de \(A\) a \(B\).

Si los puntos \(A\) y \(B\) son puntos de las curvas \(f\) y \(g\) respectivamente, entonces la distancia entre los puntos formará un triángulo rectángulo y podrá ser calculada por Pitágoras de la siguiente forma:

\[(d_{AB})^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}=\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}\]

Observa que en este caso la hipotenusa del triángulo rectángulo es \(d_{AB}\). Los catetos son \(\Delta x=x_{B}-x_{A}\) y \(\Delta y=y_{B}-y_{A}\).

Despejando \(d_{AB}\) y sustituyendo por su valor como función de \(x\):

\[d_{AB}=\sqrt{\left[x_{B}-x_{A}\right]^{2}+\left[g\left(x_{B}\right)-f\left(x_{A}\right)\right]^{2}}\]

Simple ¿No?. Luego, solo basta usar la fórmula hallada para optimizar la distancia entre dos curvas. 

Cuando sea necesario encontrar la menor distancia entre un punto y una curva, la distancia entre estos objetos también será dada por la diferencia entre las coordenadas, aplicando Pitágoras.

Área y Volumen

Una familia de campesinos tiene 1000 \(m\) de tejido y quieren construir un cerco rectangular en torno a su terreno. ¿Cuál es el área máxima que podrán cercar?. ¿Cuál será la altura y el ancho del área cercada?

Bien, identificamos que se trata de un problema de optimización, pues se quiere el área máxima.

1° paso: realizar un dibujo del problema y asignar variables para las cantidades pedidas.

2° paso: describe las relaciones entre las variables del problema.

\[Perimetro:  2x+2y=1000 \Rightarrow (x+y)=500 \Rightarrow y=(500-x)\]

\[Área: A=x \cdot y\]

3° paso: determinar la función a ser maximizada (o minimizada) en función de solo una de las variables del problema. En este paso debes preguntarte, ¿Cómo queda el área como función de \(x\)?

Después, sustituyendo nos queda:

\[A=x \cdot y=x \cdot(500-x)=-x^{2}+500 x\]

4° paso: deriva la función e iguala la misma a cero para encontrar los puntos críticos.

\[\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} x}=-2 x+500=0 \Rightarrow x=250\]

5° paso: verificar si el punto crítico es un punto donde hay un máximo (o mínimo) local o global.

Por último, realizando los cálculos y el análisis correspondientes, encontrarás que el punto crítico hallado es un máximo global, el área máxima es 62500 \(m^{2}\) y las dimensiones son \(x=250 m\) e \(y=250 m\).

Otros problemas de área y perímetro tienen como protagonistas a otras fórmulas. Entonces veamos algunas de las que puedes llegar a necesitar:

• \(A_{cuadrado}=(lado)^{2}=lado_{1}\cdot lado_{2}\)

• \(A_{rectángulo}=lado_{1}\cdot lado_{2}\)

• \(A_{triángulo}=\frac{base\cdot altura}{2}\)

• \(A_{circunferencia}=\pi (radio)^{2}\)

• \(A_{lateral \space de \space cilindro}=2\pi \cdot radio\cdot altura\)

• \(A_{esfera}=4\pi (radio)^{2}\)

¡Ten presente todas estas fórmulas!

Volumen

Los problemas que involucran volúmenes no cambian respecto al paso a paso aplicado en nuestras resoluciones, pero es necesario que tengas en cuenta las principales fórmulas que suelen ser útiles: 

• \(V_{cono}=\frac{\pi(radio)^{2}(\text {altura})}{3}\)

• \(V_{\text {cilindro}}=\pi(radio)^{2}(\text {altura})\)

• \(V_{\text {prisma}}=A_{\text {base}} \cdot(\text {altura})\)

• \(V_{\text {esfera}}=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)

¡Genial! Hasta aquí hemos expuesto y analizado varios ejemplos de problemas de optimización para terminar de comprender mejor este tema.