Teorema del Valor Intermedio y Funciones Monótonas

¿Recuerdas el teorema del valor medio? Este dice que, dada una función \(f\) continua en \(\left [ a.b \right ]\), para ir desde el punto \(f(a)\) hasta \(f(b)\), esta debe, necesariamente, tomar todos los valores entre \(f(a)\) y \(f(b)\), es decir que debe pasar por todos los puntos que se encuentran entre \(f(a)\) y \(f(b)\).

En consecuencia, si \(f(a)\) es negativo y \(f(b)\) es positivo, o viceversa, necesariamente habrá una raíz en el intervalo \(\left [ a.b \right ]\), dado que la función deberá valer cero en algún momento y atravesar el eje de las abscisas. ¿Entiendes? Bueno. ¡Sigamos adelante!

Teorema del valor medio y funciones monótonas

Entonces, si empleas el T.V.M, lograrás mostrar que existe una raíz en un intervalo \(\left [ a.b \right ]\).

Hasta aquí todo ok. ¿Y si quisieras mostrar que solo existe una única raíz en el intervalo?

Piensa lo siguiente: para que sea la única raíz en el intervalo, la función no puede volver a valer cero. ¿Y cómo puedes asegurar que la función no vuelve a valer cero?

Te daré una pequeña ayuda y contestaré esta pregunta por ti ;)

Para afirmar que la función solo tiene una raíz en el intervalo dado, debes analizar el signo de la derivada primera de \(f\).

Si la derivada primera no cambia de signo, se puede afirmar que \(f\) no sufrirá cambios respecto a su crecimiento o decrecimiento.

• Cuando la derivada primera toma valores únicamente positivos, entonces la función será monótona creciente, es decir, será siempre creciente.

• Cuando la derivada primera es siempre negativa, la función es monótona decreciente, es decir que siempre será decreciente. 

Por lo tanto, si la gráfica de nuestra función pasa por cero, y sucede alguna de las dos situaciones que te he mencionado anteriormente, entonces no volverá a pasar nuevamente por cero!

Resumiendo: para asegurar que una función tiene solo una raíz en un intervalo \(\left [ a.b \right ]\), se debe aplicar el T.V.M. y mostrar que la función es monótona creciente o decreciente en \(\left [ a.b \right ]\), es decir que el signo de la derivada primera no cambie en dicho intervalo.