Optimización - Modelo

Modelo algebraico en el plano cartesiano

Observa el rectángulo en el gráfico que está debajo. Su lado izquierdo se encuentra sobre el eje “\(y\)” y, por lo tanto, tenemos que la coordenada “\(x\)” es nula (\(x=0\)). El lado derecho está limitado por el eje “\(x\)” y por la curva de la gráfica de la función \(f(x)\), o sea, está inscripto en esa curva.

¿Te imaginas cómo puedes maximizar el área del rectángulo?. ¿Qué tipo de optimización tenemos aqui?

Un modelo es una representación, podríamos decir simplificada, de un hecho o proceso de la realidad. Y modelar es la acción de encontrar un modelo matemático que se ajuste y represente, de forma eficaz, a la situación que se está estudiando.

Modelar algo algebraicamente es atribuir variables a algunas medidas, tales como \(x\), \(y\), etc.

El modelado algebraico en el plano cartesiano es exactamente lo que estuvimos haciendo hasta el momento. Esto es, por ejemplo, sustituir las medidas del rectángulo, del dibujo de más arriba, por las variables del plano \(x\) e \(y\). Como el lado derecho está limitado por \(f\), su altura \(y\) estará dada por:

\[y=f(x)=(x-1)^{2}\]

La base será la variable \(x\). Entonces el área del rectángulo nos quedará de la siguiente manera:

\[A=(\text { base }) \cdot(\text {altura}) \Rightarrow A=x \cdot f(x) \Rightarrow A=x \cdot(x-1)^{2}\]

Luego, optimizar el área será fácil!. Solamente debes hallar los puntos críticos, derivando e igualando a cero, y después mostrar que son máximo o mínimo.

Problemas con ángulos

Para algunos problemas de optimización, donde nos topamos con ángulos, suele ser necesario que tú tengas conocimientos sobre relaciones trigonométricas para resolverlos.

Como lo que queremos es acercarte soluciones, quédate y hecha una mirada a lo siguiente, que de seguro te será de mucha ayuda:

\[\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\]

Si dividimos todo por \(\cos ^{2}(x)\):

\[\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}+\frac{\cos ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}=\frac{1}{\cos ^{2}(x)} \Rightarrow \tan ^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)\]

O por \(\operatorname{sen}^{2}(x)\):

\[\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}+\frac{\cos ^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(x)} \Rightarrow \cot ^{2}(x)+1=\operatorname{cossec}^{2}(x)\]

La suma de ángulos también son importantes:

     \(\bullet\)  \(\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}(a) \cos (b)+\operatorname{sen}(b) \cos (a)\)

     \(\bullet\)  \(\operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen}(a) \cos (b)-\operatorname{sen}(b) \cos (a)\)

     \(\bullet\)  \(\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\operatorname{sen}(a) \operatorname{sen}(b)\)

     \(\bullet\)  \(\cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\operatorname{sen}(a) \operatorname{sen}(b)\)

Donde:

\[\tan (a+b)=\frac{\operatorname{sen}(a+b)}{\cos (a+b)}\]