Teorema de Rolle y Valor Medio

Comenzaremos hablando sobre nuestro primer teorema, el “Teorema de Rolle”. Luego, vamos a generalizar el concepto del primero enunciando para llegar al “Teorema del Valor Medio”, que es un pariente muy cercano pero de mayor jerarquía.

Supongamos que tenemos un intervalo cerrado cualquiera \([a, b]\) y una función \(f\), tal que suceda lo siguiente:

\[f(a)=f(b)\]

Y continuemos observando el siguiente gráfico:

Si prestas la suficiente atención verás fácilmente que, en algún punto \(x=c\) perteneciente al intervalo, la función alcanza un máximo. Por lo tanto, la derivada de la función en ese punto se anula. Y la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(c\) es horizontal. Entonces \({f}'(c)=0\).

Todo esto lo representamos en el próximo gráfico para que lo entiendas mejor:

La existencia del máximo se produce porque la función comienza a crecer a partir de \(x=a\) y, necesariamente, en algún momento debe decrecer para que \(f(a)\) sea igual a \(f(b)\). En el caso de que esto último no ocurra, la función continuaría creciendo y tendríamos que \(f(b)>f(a)\).

La misma idea tendrá validez para cuando la función comienza a decrecer a partir de \(x=a\).

El concepto principal aquí es que necesariamente, en el punto donde la función deja de crecer y pasa a decrecer (o vice versa), la derivada es nula y la recta tangente se hace horizontal. Con esto, podemos concluir que:

Si \(f(a)=f(b)\), entonces existe un valor \(c\) perteneciente al intervalo  \([a, b]\), tal que \({f}'(c)=0\).

¡Pero ten cuidado! Porque esta proposición, tal como está escrita, se encuentra incompleta, ya que hay una manera de desmoronar lo que se afirma allí… Por ejemplo, si la función da un salto:

La función correspondiente a éste gráfico no necesita tener derivada nula para algún valor de \(x\). Esto es porque la función es discontinua. En consecuencia de este contraejemplo, se define una condición más para el teorema: la función f debe ser continua en el intervalo cerrado \({[a, b]}\).

Aclaración: que sea cerrado el intervalo quiere decir que la función tiene que ser continua en todos los puntos, inclusive en \(x=a\) y \(x=b\).

Hay una forma más para contradecir la afirmación anterior. Esta sucede cuando la función no es derivable, es decir, cuando la derivada no existe y la función tiene algún “pico”. Observa el siguiente gráfico donde te presento un ejemplo bien claro:

En consecuencia, debemos considerar también la siguiente condición para el teorema: la función \(f\) debe ser derivable en el intervalo abierto (\(a,b\)).

O sea que la derivada tiene que existir. Pero como ahora el intervalo es abierto, no hay problema con que la función no sea derivable en los extremos del mismo (en \(x=a\) y en \(x=b\)). Tan solo basta con que exista para los puntos internos entre ellos.

Con todo lo dicho, ya podemos enunciar el “Teorema de Rolle” y puedes disfrutar del mismo a continuación:

Dada una función \(f\) continua en el intervalo cerrado \([a, b]\), derivable en el intervalo abierto \((a,b)\) y sea \(f(a)=f(b)\).

Entonces existe un valor \(c\in (a, b)\) tal que:

\[{f}'(c)=0\]

Bien, hasta aquí hemos visto el primer teorema. ¡Asi que relájate y toma un respiro para seguir con el “Teorema del Valor Medio”! (O, dicho de forma abreviada, T.V.M).

El T.V.M sigue casi las mismas condiciones que las del “Teorema de Rolle”. A diferencia que ahora tendremos que considerar la siguiente condición:

\[f(a) \neq f(b)\]

Quizá te sea difícil de imaginar a qué se refiere la nueva condición. Pero eso lo puedes deducir sencillamente inclinando la gráfica que teníamos para el Teorema de Rolle, de la forma que te enseño a continuación:

Cuando \({f}'(c)=0\), la pendiente de la recta tangente era nula y, por ello, la recta tangente a la función en \(x=c\) era horizontal.

Pero ahora, la pendiente pasa a tener el valor de la tangente del ángulo de inclinación \(\theta\) que se describe en el dibujo de abajo:

Con lo cual se infiere la siguiente fórmula:

\[{f}'(c)=\tan (\theta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Fijate que cuando \(f(a)=f(b)\), entonces resulta:

\[{f}'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{0}{b-a}=0\]

Que es la situación particular reflejada por el “Teorema de Rolle”.

De esa manera, con el T.V.M. podremos cubrir todas las siguientes relaciones entre \(f (a)\) y \(f (b)\):

\[f(a)>f(b) ; f(a)=f(b) ; f(a)<f(b)\]

Perfecto, pero seguro te estarás preguntando: ¿Qué significa esa fórmula del T.V.M?. Bueno, antes de contestar esa pregunta, contempla la siguiente situación, teniendo siempre presente los gráficos de cada teorema. 

Si, en vez de \(f\), trabajaras con una función que represente la posición de un auto en función del tiempo \(s(t)\), con:

\[\Delta s=s(b)-s(a) \text{ ; }\Delta t=b-a\]

Entonces, la velocidad media en el intervalo sería:

\[v_{media}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}\]

La cual es la fórmula del T.V.M para la función \(s\). Y lo que el teorema nos dice es que existe \(c\) tal que:

\[{s}'(c)=v_{media}\]

O sea, la velocidad instantánea (valor que aparece en el velocímetro del auto, y que calculamos con la derivada \({s}'(t)\)), en algún instante, es igual a la velocidad media del intervalo.

Tomando esta situación dada a modo de ejemplo y haciendo una analogía, verás que para una función cualquiera \(f\), el T.V.M nos dice que la variación instantánea de la función (es decir, el valor de la derivada \({f}'\)) debe ser igual a la variación media de \(f\) en algún punto del intervalo.

Finalmente, veamos como queda enunciado el “Teorema del Valor Medio”:

Dada una función \(f\) continua en el intervalo cerrado \([a, b]\) y derivable en el intervalo abierto \((a,b)\), entonces existe un numero \(c\in (a, b)\) tal que:

\[{f}'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Este teorema tiene múltiples aplicaciones en varias ramas de la ciencia, como veremos en el siguiente apartado.