Test de Crecimiento y Decrecimiento

En este apartado te adentraras en uno de los temas más importantes para el análisis y comprensión del comportamiento de una función, lo que te permitirá realizar el trazado de su gráfica de forma muy aproximada. Veamos de qué se trata esto, ¡Adelante!

Nos haremos camino con algo llamado “Test de crecimiento y decrecimiento” o, dicho de forma más abreviada, “test CD”.

¿De qué se trata este test? Es una herramienta con la cual estudiaremos para qué intervalos una función crece o decrece.

¡Veamos cómo funciona!. 

Pero antes, algo de teoría para entender de dónde sale la idea:

Sea una función \(f\):

• Si \({f}'(x)> 0\) en un intervalo \((a,b)\), entonces \(f\) es creciente en ese intervalo.
• Si \({f}'(x)< 0\) en un intervalo \((a,b)\), entonces \(f\) es decreciente en ese intervalo.

O sea que, conociendo si el signo de la derivada de una función es positivo o negativo, podrás saber en qué región es creciente o decreciente.

Imagino que te estarás preguntando ¿y cómo uso esta información?

Bueno, antes vale mencionar el teorema de Bolzano, que nos decía que, entre una raíz y su consecutiva, el signo de la función se mantiene constante. Por lo tanto, la tarea que debes emprender es hallar las raíces de la función derivada, haciendo \({f}'(x)=0\), y luego determinar el signo de \({f}'(x)\) en cada uno de los intervalos obtenidos. Para determinar el signo de la función derivada, te recomiendo evaluar a \({f}'(x)\) en un valor cualquier de \(x\) perteneciente al intervalo. Esto es necesario hacerlo solo una vez, ya que para cualquier otro valor que se encuentre dentro del intervalo, el signo que obtendrás al evaluar será el mismo.

A continuación te mostraré uno de esos ejemplos complicados y verás lo fácil que resulta el análisis.

Puede ocurrir que al derivar nos de una función como la siguiente:

\[{f}'(x)=\frac{x^{2}-3}{3(x^{2}-1)^{3}}\]

¿Cómo hacemos ahora??. Solo hay que construir el cuadro de los signos!. Donde aparecerá el signo que posee la función derivada en cada intervalo.

Vamos a armarlo y para ello te brindo la siguiente receta con sencillos pasos:

1. Obtén a la función expresada como productos y razones de factores o términos. 

2. Ignora los factores o términos que no presenten cambio de signo y que, por lo tanto, no afecten al signo de la función.

3. Ten en cuenta aquellos que sí produzcan un cambios en el signo.

4. En la primer fila debes poner todas las raíces de los factores o términos.

5. En la primer columna, coloca cada factor o término que generan cambio de signo.

6. En las celdas vacías, irás colocando el signo de cada factor o término correspondiente a cada intervalo.

7. Multiplica los signos, según la regla de los signos, y coloca en la última fila el signo resultante para cada columna.

Entonces la función \(f\) será:

• Decreciente para todo \(x \in(-\sqrt{3},-1) \cup(1, \sqrt{3})\)

• Creciente para todo \(x \in(-\infty,-\sqrt{3}) \cup(-1,1) \cup(\sqrt{3}, \infty)\)

Hasta el momento solo hablamos de cuándo la derivada es positiva o negativa, pero... ¿Qué sucede cuando es igual a cero o no existe?. En el punto en que la derivada es cero o no existe, tenemos un punto crítico.