Tasas Relacionadas

Imagina que tienes un cuadrado de lado \(l\) y cuya área es \(A\). Si su lado se encuentra creciendo a una velocidad de 2m por segundo. ¿Cuál será la rapidez con la que crece el área cuando el lado tenga 3m de longitud?

Del enunciado podrás deducir que las dos variables, área \(A\) y lado \(l\), son funciones que dependen del tiempo \(t\) (en este y muchos otros casos de la vida real no se conoce exactamente cuál es la expresión de la fórmula de la función) y están relacionadas por la ecuación \(A=l^{2}\). por lo tanto hasta aquí tenemos:

\[A(t)=(l(t))^{2}\]

Luego, de la pregunta del enunciado, sabrás que lo que se busca es la tasa de variación del área respecto del tiempo. O, dicho de otra forma, la razón de cambio o derivada de \(A\) con respecto al tiempo \(t\). Que lo podemos expresar como \({A}'(t)\) o \(\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}\).

SI derivas respecto al tiempo a ambos lados del igual de la ecuación \(A(t)=(l(t))^{2}\), que relaciona las dos variables, tienes lo siguiente:

\[\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}={\left[(l(t))^{2}\right]}'\]

Para derivar debes tener en cuenta que \(A\) es función de \(l\) que, a la vez, es función de \(t\). En consecuencia, hay que aplicar la “Regla de la Cadena”:

\[\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}={\left[(l(t))^{2}\right]}'=2\cdot l(t))\cdot \frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{d} t}\]

Solo resta reemplazar a \(l(t)\) y \(\frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{d} t}\) por los valores indicados. 

Como la velocidad con la que aumenta la longitud del lado \(l\) es de 2m por segundo, podemos decir que \(\frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{d} t}=2\tfrac{m}{seg}\).

A continuación queda determinar \(l(t)\), y para ello sabes que se quiere conocer la tasa de variación en el instante cuando \(l=3m\). Por lo tanto \(l(t)=3m\).

Ahora sí realicemos el reemplazo de los datos!:

\[\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=2\cdot l(t)\cdot \frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{d} t}\Rightarrow \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=2\cdot 3m \cdot 2\tfrac{m}{seg}\Rightarrow \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=12\tfrac{m^{2}}{seg}\]

Resumiendo: calculamos la forma en que se relacionan las derivadas de las variables, de modo que relacionamos las tasas de variación del área \(A\) y el lado \(l\) en función del tiempo \(t\).

Y, a través de una ecuación, tendrás la forma en que se relacionan las variables del problema, que en nuestro caso fue \(A=l^{2}\). 

Todas las variables serán funciones del tiempo, y aparecerán como tasas de variación, que en nuestro caso fueron \(\frac{d(l(t))}{d t}\) y \(\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}\).

Luego, sustituyes por los datos del problema en la ecuación y descubres la tasa deseada!

Tasa de Variación

Hasta aquí, todo el tiempo hemos estado hablando de la derivada de una función con un abordaje únicamente teórico. 

En este capítulo verás una aplicación más práctica de la derivada, a través de la tasa de variación.

Te pediré que imagines una pequeña piedra cayendo de la cima de un edificio de altura \(S_{o}=40m\). La pregunta que te haré es: ¿Cuál es la velocidad instantánea de la piedra para el tiempo \(t=3seg\)?

La cuestión aquí es: ¿Cómo determinar la tasa de variación entre las variables “\(S\)” y “\(t\)”?

La piedra seguirá una trayectoria de caída libre, que se describe con la siguiente ecuación horaria:

\[S(t)=S_{o}-\frac{g t^{2}}{2} \Rightarrow S(t)=40m-\frac{9,8\tfrac{m}{seg^{2}} t^{2}}{2} \Rightarrow S(t)=40m-4,9\tfrac{m}{seg^{2}} t^{2}\]

Donde “\(g=9,8\tfrac{m}{seg^{2}}\)” es la aceleración de la gravedad.

La velocidad instantánea se define como la derivada de la posición en función del tiempo:

\[v(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}={S}'(t)=\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d t}}\]

Entonces, vamos a derivar la posición “\(S\)” y reemplazar por los datos dados:

\[v(t)=\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}=-9.8\tfrac{m}{seg^{2}} t \Rightarrow v(3)=-9,8\tfrac{m}{seg^{2}} \cdot 3seg=-29,4 \tfrac{m}{seg}\]

Lo que acabamos de calcular es la tasa de variación instantánea de la posición en relación con el tiempo! Esto es sencillamente la derivada de la posición “\(S\)”en función del tiempo “\(t\)”: 

\[\left(\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}\right) \text { o } \left({S}'(t)\right)\]

Dada una función \(f\) con variable dependiente \(x\), la tasa de variación de \(f\) en relación a \(x\) será:

\[\frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d} x}={f}'(x)\]