Rectas Paralelas y Perpendiculares

Suponte que tienes una recta \(y_{1}\), cuya ecuación es:

\[y_{1}=2x+1\]

Y quieres la ecuación de otra recta \(y_{2}\) que sea paralela a \(y_{1}\) y que pase por el punto \(P=(3,4)\).

La pregunta que vamos a responder es: ¿Cómo determinar la ecuación de una recta paralela a otra?

Primeramente, deberás describir cuál es la fórmula general de la ecuación de la recta \(y_{2}\):

\[y_{2}-y_{o}=m_{2}\left(x-x_{o}\right) \Rightarrow y_{2}=m_{2}(x-x_{o})+y_{o}\]

El punto de paso de la recta \(y_{2}\) debe ser el \(P=(3,4)\), entonces:

\[\left(x_{0}, y_{0}\right)=(3,4)\]

Luego, habrá que sustituir este último dato en la ecuación de la recta de \(y_{2}\):

\[y_{2}=m_{2}\left(x-x_{0}\right) +y_{0} \Rightarrow y_{2}=m_{2}(x-3)+4\]

Ahora solo te resta encontrar la pendiente “\(m_{2}\)” de esta recta. Y para ello vamos a recordar que “dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente” o, dicho de otra forma, que tengan la misma inclinación.

De esto puedes deducir que si \(m_{1}\) y \(m_{2}\) son las pendientes de las rectas \(y_{1}\) e \(y_{2}\) respectivamente, entonces para que sean paralelas debe ocurrir que \(m_{1}=m_{2}\).

Además, en otro apartado, habíamos mencionado que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto, es igual a la derivada de la función en dicho punto.

De las anteriores afirmaciones deducimos lo siguiente:

\[y_{1}=2x+1 \Rightarrow  {y_{1}}'=m_{1}=2\]

\[m_{1}=m_{2} \Rightarrow m_{2}=2\]

Y luego reemplazando el valor de \(m_{2}\) en la ecuación de la recta \(y_{2}\):

\[ y_{2}=m_{2}(x-3)+4\Rightarrow y_{2}=2(x-3)+4\Rightarrow  y_{2}=2x-2\]

Resumiendo: dos rectas \(y_{1}\) y \(y_{2}\) son paralelas si \({y}'_{1}={y}'_{2}\).

Pero suponte que ahora se quiere hallar la recta normal (o recta perpendicular) a otra recta dada.

Para continuar, seguiremos utilizando la misma recta del ejemplo anterior, \(y_{1}=2 x+1\).

Entonces, la pregunta es, cuál sería la ecuación de la recta \({y}_{2}\) normal a \({y}_{1}\) en el punto \(P=(3,4)\)?

De nuevo describimos la ecuación general para \(y_{2}\), reemplazando por el dato del punto de paso \(\left(x_{0}, y_{0}\right)=(3,4)\):

\[y_{2}=m_{2}\left(x-x_{0}\right)+y_{0} \Rightarrow y_{2}=m_{2}(x-3)+4\]

Y nuevamente habrá que encontrar el valor de la pendiente “\(m_{2}\)”. 

Para lograr esto último, se sabe que las pendientes de dos rectas que son normales se encuentran invertidas y con el signo cambiado, una respecto a la otra:

\[m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}\]

Y como ya conoces que el valor de la pendiente de \(y_{1}\) es \(m_{1}=2\), entonces:

\[m_{2}=-\frac{1}{2}\]

Con esto, ya tendrás todo lo necesario:

\[y_{2}=m_{2}(x-3)+4\Rightarrow y_{2}=-\frac{1}{2}(x-3)+4\Rightarrow y_{2}=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\]

Conclusión: dos rectas \(y_{1}\) y \(y_{2}\) son normales si \({y}'_{1}=-\frac{1}{{y}'_{2}}\).