Máximos y Mínimos

Introducción

A continuación hablaremos sobre máximos y mínimos de una función. Un tema elemental para abordar diversos futuros problemas, como por ejemplo los de optimización.

¡Comencemos!. ¿Qué son los puntos máximos y mínimos?. Bien, un punto donde el valor de la función, es decir el valor de “\(y\)”, es mayor que el de los puntos de su alrededor se llama punto máximo.

Si observas la gráfica de una función, en un punto máximo es como si estuvieras en la cima de una montaña:

Y un punto mínimo, es como estar en un valle:

¿Cómo encontrar puntos máximos y mínimos?

Si miras la grafica se pueden identificar esos puntos perfectamente. Pero la cuestión de interés es: ¿Cómo se calculan?

Éstos puntos se dan, necesariamente, cuando la derivada primera se anula.

En un capítulo anterior, cuando hablamos de crecimientos y decrecimiento de una función, mencionamos que los valores de “\(x\)” en donde la derivada primera es cero o no existe son los llamados puntos críticos.

De esta manera, los puntos críticos pueden ser puntos maximos o minimos.

En esta última oración está subrayado “pueden” porque también podría ocurrir que un punto crítico no sea ni un máximo ni un mínimo.

Criterio de la primera derivada

Ok, entonces ya sabes que los puntos críticos pueden ser puntos donde hay un máximo o un mínimo. Por consiguiente, ¿cómo estar seguro y de qué manera puedes diferenciar máximos de mínimos?

Bueno, cuando se tiene un máximo para algún \(x=c\), el valor de la derivada primera a la izquierda de “\(c\)” es positiva y a la derecha es negativa. Luego, para mínimos, la regla es al contrario.

Entonces, para determinar cuándo un punto crítico es un máximo o un mínimo, debes analizar el signo de la derivada primera. Este proceso lo llamamos “Criterio de la Primera Derivada”.

Te dejo aquí algo de teoría:

Dada la función \(f\) derivable, y sea \(x=c\) un único punto crítico de \(f\) y \(\delta>0\):

• Si \({f}'(c-\delta)>0\) y \(f^{\prime}(c+\delta)<0\), entonces en \(x=c\) hay un máximo.

• Si \({f}'(c-\delta)<0\) y \(f^{\prime}(c+\delta)>0\), entonces en \(x=c\) hay un mínimo.

Por ejemplo, supongamos que tienes una función \(f\) para la cual \({f}'(2)=0\), es decir que en \(x=2\) hay un punto crítico, y luego resulta que \({f}'(1,5)<0\) y \({f}'(2,5)>0\), entonces tendrás un punto mínimo.

Pero si también tuviéramos que \({f}'(4)=0\), \({f}'(3)>0\) y \({f}'(5)<0\), entonces habrá un máximo.

¡Aclaración importante!. Al seleccionar los valores de referencia, respecto a un punto crítico, hacia la izquierda o hacia la derecha, debes tener cuidado y asegurarte de que éstos valores no pasen por ningún otro punto crítico.

Veamos lo siguiente para entender mejor esta última aclaración: 

Cuando estábamos analizando el signo de la derivada primera a la izquierda de \(x=4\), seleccionamos el valor \(x=3\), que se encuentra en el intervalo conformado entre los dos puntos críticos.

Si, por ejemplo, hubiéramos elegido \(x=1\), en vez de \(x=3\), habríamos atravesado por \(x=2\) (el otro punto crítico) y nos daría un resultado incorrecto respecto del punto crítico \(x=4\), que era el que estaba siendo analizado.

Criterio de la segunda derivada

Otro modo para determinar qué tipo de extremo hay en un punto crítico es con el “Criterio de la derivada segunda”. 

En los puntos donde hay un máximo, la derivada primera es positiva a la izquierda y se torna negativa a la derecha. En consecuencia, la función \({f}'(x)\), varía de forma negativa. Entonces, en un entorno del punto máximo, la derivada segunda tiene signo negativo.

Para los puntos donde hay un mínimo, tendrás lo contrario y la segunda derivada será positiva.

Dicho todo esto podemos enunciar lo siguiente:

Dada una función \(f\) derivable de orden dos o superior, y sea \(x=c\) un punto crítico de \(f\):

• Si \({f}''(c)>0\), entonces en \(x=c\) hay un mínimo.

• Si \({f}''(c)<0\), entonces en \(x=c\) hay un máximo.

Por lo tanto, “el criterio de la segunda derivada” consiste en evaluar a la derivada segunda en el valor del punto crítico y determinar su signo en dicho punto.

La ventaja es que solo necesitas determinar el signo en el punto crítico. La desventaja es que tienes que derivar la función dos veces.

Máximos y mínimos locales o relativos

Una función \(f\) tiene un máximo relativo en \(x=c\) si \(f(c)\geqslant f(x)\) para cualquier otro valor de \(x\) perteneciente a algún intervalo abierto que contenga a \(c\). Por lo tanto \(f(c)\) es mayor o igual que los valores de la función en los puntos más próximos. 

Y una función \(f\) tiene un mínimo relativo en \(x=c\) si \(f(c) \leqslant f(x)\) para cualquier \(x\) perteneciente a un intervalo abierto que contenga a \(c\).

Para entender mejor la idea, te recomiendo que observes el dibujo que está más abajo. Pero antes una cosa más:

Máximos y mínimos absolutos o globales

Estos son los valores más grandes o más pequeños que toma la función en todo su dominio. A diferencia de los extremos relativos que no son extremos en todo el dominio, sino en una zona restringida de la gráfica. 

Veamos algo de teoría para los extremos globales o absolutos:

Dada una función \(f\) y \(x = c\) un punto crítico de \(f\):

• Si \(x=c\) es un punto máximo, será máximo global si:

\[f(c)>f(x) \text { para todo } x\in Dom(f)\]

• Si \(x=c\) es un punto mínimo, será mínimo global si:

\[f(c)<f(x) \text { para todo } x\in Dom(f)\]

Ahora sí fíjate en la siguiente gráfica cómo se diferencian los distintos tipos de extremos:

Aquí, al buscar los puntos críticos, hallarás que la derivada segunda se anula en \(x=c\) y en \(x=d\), y que no existe para \(x=e\). Luego, comparando sus valores, podrán determinar qué tipo de extremos son.

También es importante mencionar que cuando el dominio se encuentra restringido entre dos valores, como en el caso del dibujo donde el dominio es el intervalo cerrado \(\left [ a,b \right ]\), debes tener en cuenta los extremos del intervalo y analizar si en esos puntos hay extremos de la función.

Por ejemplo en \(x=a\) tienes un máximo absoluto, ya que es el mayor de los valores que toma la función en todo su dominio. Y en \(x=b\), a pesar de no ser el mayor de los valores que toma la función, es máximo relativo, ya que es el mayor de los valores de \(f\) en un entorno de \(x=b\).

Por ello recuerda evaluar a la función en \(x=a\) y en \(x=b\) para probar si con los valores obtenidos tienes un extremo y, comparándolos con los demás extremos, determinar qué tipo de extremo son.