Recta Tangente - Derivación Implícita

Supongamos que tienes una situación donde necesitas calcular la recta tangente “\(y_{tg}\)” a una circunferencia, de radio igual a uno, en el punto \(\left (x_{o};y_{o}  \right )=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2} \right )\). Sabiendo que la ecuación de la circunferencia es:

\[x^{2}+y^{2}=1\]

La recta tangente pasa por el punto \(\left (x_{o};y_{o}  \right )\), entonces éste pertenece a la misma. Por lo cual podrás sustituir estos datos en la ecuación de la recta:

\[y_{tg}=m_{tg}\left(x-x_{o}\right)+y_{o} \Rightarrow y_{tg}=m_{tg}\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{1}{2}\]

Observa que en la ecuación resultante la única incógnita que falta hallar es la pendiente de la recta tangente “\(m_{tg}\)”.

Ya vimos que, para encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en el punto \(x_{o}\), debes conocer la derivada de la función en dicho punto: \(m_{tg}={y}'(x_{o})\).

Pero nos encontramos con la dificultad de que no tienes la variable “\(y\)” en función de la variable “\(x\)”. Y el despeje, que se hace habitualmente para obtener \(y=f(x)\), arrojaría dos funciones posibles en este caso.

Por lo tanto, para hallar \({y}'(x)\), vamos a derivar de forma implícita la ecuación de la circunferencia, teniendo presente que pensarás a “\(y\)” como función de “\(x\)”:

\[x^{2}+y^{2}=1 \Rightarrow  2 x+2 y {y}'=0 \Rightarrow {y}'=-\frac{x}{y}\]

Reemplazando por los valores del punto dado:

\[{y}'=-\frac{x}{y} \Rightarrow {y}'=-\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} }\Rightarrow {y}'=-\sqrt{3}\]

Entonces: \(m_{tg}=-\sqrt{3}\)

Luego la ecuación de la recta tangente que estábamos buscando es:

\[y_{tg}=-\sqrt{3}\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{1}{2}\]

Para rectas paralelas y perpendiculares, hay que emplear la misma idea: “\({y}'\)” calculado de forma implícita.