Regla de l'Hôpital-Indeterminación \(\infty / \infty\) y \(0 / 0\)
Indeterminación del tipo \(\infty / \infty \text { y } 0 / 0 \)
Observa el siguiente límite:
\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}\]
Aquí nos encontramos con una situación donde al intentar evaluar al límite, con \(x \rightarrow 0\), el numerador y el denominador tienden ambos a cero. ¿Y qué significa esto? Que obtenemos una indeterminación del tipo \(\frac{0}{0}\), tal como puedes observar a continuación:
\[\lim _{x \rightarrow0} \frac{\sin (x)}{x}=\frac{0}{0}\]
Y nos sería casi imposible salvar dicha indeterminación con las herramientas adquiridas hasta el momento sobre límite...
¡Pero por suerte tienes la regla de L'Hôpital!
Regla de L'Hôpital
Esta regla nos dice que, para resolver una indeterminación del tipo \(\frac{0}{0}\), sencillamente tienes que derivar la función del numerador, por un lado, y la función del denominador, por el otro (es decir que hay que derivar independientemente numerador y denominador).
Dicho de forma simbólica sería:
\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}=L\]
De esta manera, el límite que fue enunciado en la introducción del tema, lo puedes resolver de la siguiente forma:
\[\lim _{x \rightarrow0} \frac{\sin (x)}{x}\stackrel{L^{\prime} H}{\longrightarrow } \lim _{x \rightarrow0} \frac{(\sin (x))^{\prime}}{(x)^{\prime}}=\lim_{x \rightarrow0}\frac{cos(x)}{1}=\frac{1}{1}=1\]
La “Regla de l'Hôpital” es aplicable al caso \(\frac{0}{0}\), y también se puede extender al caso \(\frac{\infty}{\infty }\).
Veamos el siguiente límite donde nos encontramos con una indeterminación del tipo \(\frac{\infty}{\infty }\):
\[\lim _{x \rightarrow\infty } \frac{x}{e^{x}}\stackrel{L^{\prime} H}{\longrightarrow } \lim _{x \rightarrow\infty } \frac{(x)^{\prime}}{(e^{x})^{\prime}}=\lim_{x \rightarrow\infty }\frac{1}{e^{x}}=\frac{1}{\infty }=0\]
Recuerda: se puede emplear la regla de L'Hôpital de forma recurrente, una y otra vez, hasta lograr resolver la indeterminación.
Para que te sea más claro, mira el siguiente ejemplo:
\[\lim _{x \rightarrow\infty } \frac{(x-1)^{2}}{(x+1)^{3}}=\frac{\infty }{\infty }\]
Como puedes apreciar, tenemos una indeterminación del tipo \(\frac{\infty}{\infty }\) y podemos aplicar la “Regla de L'Hôpital” para resolver el límite:
\[\lim _{x \rightarrow\infty } \frac{(x-1)^{2}}{(x+1)^{3}}\stackrel{L^{\prime} H}{\longrightarrow } \lim _{x \rightarrow\infty } \frac{((x-1)^{2})^{\prime}}{((x+1)^{3})^{\prime}}=\lim_{x \rightarrow\infty }\frac{2(x-1)}{3(x+1)^{2}}\stackrel{L^{\prime} H}{\longrightarrow }\lim_{x \rightarrow\infty }\frac{(2(x-1))^{\prime}}{((3(x+1)^{2})^{\prime}}=\lim_{x \rightarrow\infty }\frac{2}{6(x+1)}=\frac{2}{\infty }=0\]
En éste último ejemplo fue necesario emplear la regla dos veces.
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