Tasas Relacionadas - Casos Clásicos

Pitágoras

En muchas de las situaciones problemáticas con las que te encontrarás, la ecuación que relaciona a las variables no aparecerá en el enunciado. En ello se basa, en gran parte, la dificultad cuando trabajas con tasas relacionadas.

Aquí tienes un problema clásico para ejemplificar lo dicho anteriormente:

Imagina que José, el desatento, tenía una escalera de 5m de largo, la cual la apoyó sobre una pared. Como no se preocupó de que quede firme, ahora está resbalando de forma tal que el largo de su base “\(b\)” aumenta moviéndose a una velocidad de 2m por segundo. Entonces: ¿Cuál será la velocidad con la que varía la altura “\(h\)” cuando el largo de la base sea de 3m?

Quizás te estarás preguntando: ¿Cómo se relacionan las variables que surgen del enunciado de la situación que se le presentó a José?

También te habrás dado cuenta de que en ningún lugar aparece la ecuación que hay que utilizar para que se pueda responder la última pregunta.

No te preocupes que a continuación verás cómo encontrar dicha ecuación.

La escalera forma un triángulo rectángulo estando apoyada en la pared. Quedando determinados sus catetos por la altura \(h\) y la base \(b\), y la hipotenusa es igual al largo de la escalera.

Luego podrás usar Pitágoras para relacionar las variables:

\[5^{2}=h^{2}+b^{2}\]

Con esto ya está hecho lo más difícil. ¡Acabamos de hallar la ecuación que relaciona las variables para este problema!

¿Y qué es lo que te piden hallar? La rapidez con la que varía la altura, es decir \(\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{dt}}\). Así que vamos a derivar la ecuación implícitamente:

\[0=2 h \cdot \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{dt}}+2 b \cdot \frac{\mathrm{d} b}{\mathrm{dt}} \Rightarrow 0=h \cdot \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{dt}}+b \cdot \frac{\mathrm{d} b}{\mathrm{dt}}\]

La base aumenta a razón de \(2\tfrac{m}{seg}\), entonces \(\frac{\mathrm{db}}{\mathrm{dt}}=2\tfrac{m}{seg}\). Y, además, el largo de la base es de 3m, entonces \(b=3m\).

Con estos datos obtendrás la altura \(h\) de la siguiente manera:

\[(5m)^{2}=(3m)^{2}+h^{2} \Rightarrow h=4m\]

Si reemplazas todos estos datos en la ecuación que relaciona las tasas de variación y despejas:

\[0=h \cdot \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{dt}}+b \cdot \frac{\mathrm{d} b}{\mathrm{dt}}\Rightarrow 0=4m\cdot\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{dt}}+3m\cdot  2\tfrac{m}{seg}\Rightarrow \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{dt}}=-\frac{3}{2}\tfrac{m}{seg}\]

¡Felicitaciones! Has logrado con esto hallar la velocidad con la que cae la escalera. 

Fíjate que el resultado es negativo porque la escalera se encuentra cayendo, con lo cual disminuye la longitud de la altura \(h\).

Recuerda que si del enunciado se desprende un triángulo rectángulo, hay que utilizar la fórmula del Teorema de Pitágoras.

Perímetros, áreas y volúmenes

Además de los problemas que involucran al Teorema de Pitágoras, también son comunes aquellos que involucran perímetros, áreas y volúmenes. Para esos casos, sencillamente debes estar atento a las principales áreas y volúmenes.

A continuación te presentamos las fórmulas de las principales áreas:

• \(A_{cuadrado}=(lado)^{2}=lado_{1}\cdot lado_{2}\)

• \(A_{rectángulo}=lado_{1}\cdot lado_{2}\)

• \(A_{triángulo}=\frac{base\cdot altura}{2}\)

• \(A_{circunferencia}=\pi (radio)^{2}\)

• \(A_{lateral \space del \space cilindro}=2\pi \cdot radio\cdot altura\)

• \(A_{esfera}=4\pi (radio)^{2}\)

Las fórmulas de los principales volúmenes que necesitas saber:

• \(V_{esfera}=\frac{4 \pi(radio)^{3}}{3}\)

• \(V_{cilindro}=\pi \cdot (radio)^{2}\)

• \(V_{cono}=\frac{\pi(radio)^{2} \cdot altura}{3}\)

• \(V_{prisma}=A_{base} \cdot (altura)\)

En adición a todo esto, acuérdate que razón es variación, por ejemplo del volumen en el tiempo \((dV/dt)\).

Encontrando ángulos

Vamos a repensar el problema de la escalera cayendo:

¿Cuál es la velocidad a la que disminuye la altura “\(h\)” cuando el ángulo \(\theta=\frac{\pi}{3}rad\), siendo la velocidad angular a la que disminuye el ángulo “\(\theta\)” igual a \(2\tfrac{rad}{seg}\)?

Aquí la pregunta que te debe incomodar seguro es: ¿Cómo relacionar un ángulo con una distancia?

¡Con trigonometría! Empleando el seno, encontrarás la ecuación que relaciona las variables del problema \(h\) y \(\theta\), las cuales son funciones del tiempo:

\[\sin (\theta)=\frac{h}{5}\]

Y lo que queremos hallar nuevamente es la tasa de cambio o velocidad con la que disminuye \(h\), es decir \(\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{dt}}\). Por lo tanto vamos a derivar de forma implícita la ecuación: 

\[{(\sin (\theta))}'={\left (\frac{h}{5}  \right )}' \Rightarrow \cos (\theta) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{5} \cdot \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} \Rightarrow \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=5\cdot \cos (\theta) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\]

Completando con los datos del problema, siendo \(\theta=\frac{\pi}{3}rad\), y sabiendo que la velocidad angular es negativa porque el ángulo disminuye su magnitud con el paso del tiempo:

\[\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}=-2\tfrac{rad}{seg}\]

Sustituyendo todo:

\[\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=5\cdot \cos (\theta) \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\Rightarrow \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=5\cdot \cos (\frac{\pi}{3} ) \cdot (-2)\Rightarrow  \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=-5\tfrac{m}{seg}\]

Otras relaciones importantes que necesitas saber:

Ley de los cosenos:

\[A^{2}=B^{2}+C^{2}-2 B C \cdot \cos (\hat{A})\]

Ley de los Senos:

\[\frac{A}{\operatorname{sen}(\hat{A})}=\frac{B}{\operatorname{sen}(\widehat{B})}=\frac{C}{\operatorname{sen}(\widehat{C})}\]

Suma de senos y cosenos:

\[\operatorname{sen}(a \pm b)=\operatorname{sen}(a) \cos (b) \pm \operatorname{sen}(b) \cos (a)\]

\[\operatorname{cos}(a \pm b)=\cos (a) \cos (b) \mp \operatorname{sen}(a) \operatorname{sen}(b)\]