Aproximación mediante la diferencial

Seguramente, si en el secundario o universidad has llegado a tomar tu curso inicial de física, aprendiste que la velocidad media de un objeto es igual a la distancia recorrida (\(\Delta S\)) dividido por el tiempo transcurrido \(\Delta t\). Cuya fórmula es:

\[v_{media}=\frac{\Delta S}{\Delta t}\]

Y, también, que la velocidad instantánea se da cuando \(\Delta t\) es infinitesimalmente pequeño, a tal medida que es casi cero. Esto lo expresamos de forma matemática a través de un límite cuando \(\Delta t \rightarrow 0\):

\[v=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}\]

Lo cual es la derivada de la posición (\(S\)) en función del tiempo (\(t\)), es decir \({S}'(t)\).

Cuando \(\Delta t \rightarrow 0\), el lapso de tiempo es muy pequeño. Por ende, la distancia recorrida también debe ser muy pequeña. Entonces \(\Delta S \rightarrow 0\).

Una forma de representar variaciones infinitesimalmente pequeñas es con el diferencial. Y se simboliza anteponiendo una “d”.

Así, cuando \(\Delta t \rightarrow 0\), la variación de tiempo es muy pequeña y lo escribimos como \(\mathrm{d} t\). 

Además, al haber un diferencial de tiempo, la distancia recorrida también debe ser muy pequeña. Entonces \(\Delta S \rightarrow 0\). Y, por lo tanto, tendremos un diferencial de distancia, simbolizado como \(\mathrm{d} S\):

\[\Delta t \cong \mathrm{d} t\]

\[\Delta S \cong \mathrm{d} s\]

Luego, \({S}'(t)\) puede ser representada por la notación de diferenciales de la siguiente manera:

\[{S}'(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}\]

Este tratamiento es válido para cualquier variable con la que se esté trabajando.

Lo más interesante de este asunto es que podemos utilizar la idea de diferencial para aproximar algunos valores. 

Supongamos que una placa cuadrada de hierro, de lado \(l=1m\) estaba a la intemperie en un dia soleado. Por la acción del calor generado por los rayos solares, la placa se dilata. Siendo la variación de su área \(0,002m^{2}\). ¿Cuál fue la variación de la longitud del lado?

El área será:

\[A=l^{2}\]

Lo primero que debemos hacer es derivar la ecuación del área, de manera de obtener \(A'(l)\) y expresarlo de forma diferencial:

\[A'(l)=\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} l}=2\cdot l\]

El próximo paso es multiplicar por \(\mathrm{d} l\) a cada lado de la ecuación:

\[d A=2\cdot l\cdot \mathrm{d} l\]

Después aproximamos a los diferenciales por los deltas:

\[\Delta A=2 \cdot l \cdot \Delta l\]

Reemplazando a la variación del área \(\Delta A=0,02 m^{2}\) y el lado \(l=1m\):

\[0,002=2 \cdot 1\cdot \Delta l\Rightarrow \Delta l\cong 0,001m\]

Cabe la posibilidad de que en el problema no se de ni la función, ni el valor de la variación. En ese caso, será pedida la aproximación de algún número irracional, como \(\sqrt{4,1}\). Para comenzar a resolver esto debes elegir una función que tenga un valor racional próximo al número irracional pedido, tal como:

\[f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f(4)=\sqrt{4}=2\]

Ya que la función de arriba tiene, para \(x=4\), un valor racional próximo al que se quiere calcular:

\[\sqrt{4} \text { próximo a } \sqrt{4,1}\]

Y la variación será la diferencia entre el punto que queremos calcular (\(x = 4,1\)) y el punto que sabemos calcular, que es \(x=4\) para la función elegida:

\[\Delta x=4,1-4=0,1\]

Como la variación dependerá de la función elegida, debes calcularla después de determinar la función. Recuerda que el valor de la variación deberá ser pequeño. Debido a esto hay que tener cuidado a la hora de seleccionar la función!

Una vez determinados la función y el delta, debes continuar repitiendo la misma metodología del primer ejemplo. Dejo para ti la resolución de este caso.

Para ir finalizando con esta parte, dejo a continuación algunas cuestiones más que te serán de utilidad ;)

Nombres de algunas letras griegas que muchas veces aparecen en el pizarrón:

\(\alpha \) es alfa; \(\beta \) es beta; \(\gamma \) es gamma; \(\delta \) es delta; \(\epsilon\) y \(\varepsilon\) son epsilon; \(\theta \) es theta; \(\lambda\) lambda; \(\mu\) es mu, y no u; \(\pi\) es pi; \(\rho \) es ro; \(\sigma \) es sigma; \(\varphi\) y \(\phi\) son fi; \(\omega\) es omega, y no w.

¡Ahora ya conoces a cada una de ellas!

¿Y si el problema hubiera dado el valor final e inicial del área, en vez del valor de la variación de ella?

Acuérdate que la variación de cualquier variable es igual a su valor final menos el valor inicial. En el caso del área será:

\[\Delta A=A_{final}-A_{inicial}\]