Recta Tangente

Dada una curva, por ejemplo una circunferencia, la recta tangente a un punto de la misma es aquella que se aproxima y la intersecta en exactamente un solo punto y continúa su camino.

Como ya seguramente sabes, toda función tiene su representación gráfica como una curva. Así que pensemos en la recta tangente a la curva de una función en un punto dado.

Hallaremos la ecuación de la recta tangente a la función \(f(x)=x^{2}+1=y\) en el punto \(x_{o}=1\).

Para comenzar, diremos que la recta tangente intersecta o “toca” a la gráfica de la función en un solo punto. Entonces podemos afirmar que la recta y la función valen lo mismo en dicho punto.

Veamos cuál es el valor de la función \(f\) en \(x_{o}=1\):

\[f(x)=x^{2}+1 \Rightarrow f(1)=1^{2}+1=2 \Rightarrow (x_{o},y_{o})=(1,2)\]

Luego, recordamos la fórmula general de la ecuación de una recta:

\[y-y_{o}=m(x-x_{o})\Rightarrow y=m(x-x_{o})+y_{o}\]

donde \((x_{o},y_{o})\) es el punto de paso de la recta y “\(m\)” es la pendiente de la misma.

Por lo tanto, para el ejemplo tendrás:

\[(x_{o},y_{o})=(1,2) \Rightarrow y=m(x-1)+2\]

Te quedará ahora por determinar cómo hallar la pendiente de la recta.

Para ello, nos basamos en la noción básica de derivada: “La derivada de una función en un punto es un cociente incremental, que es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto”.

De esto último podrás deducir que:

\[m={f}'(x_{o})\]

El valor de la derivada de nuestra función \(f\) en \(x_{o}=1\) es:

\[{f}'(x)=2 x \Rightarrow {f}'(1)=2(1)=2\]

Entonces: \(m=2\)

Finalmente, la ecuación de la recta tangente es:

\[y=2(x-1)+2\]

En conclusión, la ecuación general de la recta tangente a una función \(f\) en el punto \((x_{o},y_{o})\), queda determinada de la siguiente forma:

\[y_{tg}={f}'(x_{o})(x-x_{o})+y_{o}\]