Optimización

A modo de presentación sobre este tema, te daré una noción de lo que es optimizar en matemática: es averiguar los valores de las variables presentes en un problema o proceso, para los cuales se obtiene el mejor resultado posible para la situación dada.

Supongamos que el dueño de un almacén necesita comprar manzanas (\(m\)), para reponer en su negocio, de forma que el costo (\(C\)) está dado por la siguiente función:

\[C=\frac{m^{2}+100}{m}\]

La pregunta que se plantea el dueño del negocio es: ¿Cuál será la cantidad de manzanas que es conveniente comprar para que el costo sea el mínimo?

Reformulando la pregunta: ¿Cuál es el costo mínimo de las manzanas?

¿Cómo podremos resolver esta situación? Bueno, a continuación te dejo una pista:

Optimizar es encontrar el máximo o el mínimo de una función.

Es decir que, para optimizar, debes buscar los puntos críticos de la función y determinar cuáles son máximos y/o mínimos.

Ya sabes que los puntos críticos están relacionados con la derivada, tal como vimos en capítulos anteriores. Entonces, derivamos la función \(C\) respecto a la variable \(m\), por la regla del cociente:

\[\frac{\mathrm{d} C}{\mathrm{d} m}=\frac{{(m^{2}+100)}' m-{m}'(m^{2}+100)}{m^{2}}=\frac{2 m^{2}-m^{2}-100}{m^{2}} \Rightarrow  \frac{\mathrm{d} C}{\mathrm{d} m}=\frac{m^{2}-100}{m^{2}}\]

Los puntos críticos se dan cuando la derivada se anula o no existe:

\[\frac{\mathrm{d} C}{\mathrm{d} m}=0 \Rightarrow  m^{2}-100=0 \Rightarrow m=\pm 10\]

Como la cantidad de manzanas no puede ser negativa, vamos a desechar el valor negativo para \(m\). Por lo tanto, el único punto crítico que tenemos hasta aquí es el valor positivo \(m=10\).

Luego, como lo que queremos determinar es el menor costo posible, debemos demostrar que el punto crítico hallado es un mínimo. Y, para lograr esto último, vamos a emplear el “Test de la primera derivada”, donde tenemos que analizar el signo de la derivada a la izquierda y a la derecha de ese punto. 

Podemos escoger \(m=5\) a la izquierda y \(m=15\) a la derecha:

\[\frac{\mathrm{d}C(5)}{\mathrm{d}m}=\frac{5^{2}-100}{5^{2}}=-\frac{75}{25}\leqslant 0\]

\[\frac{\mathrm{d}C(15)}{\mathrm{d}m}=\frac{15^{2}-100}{15^{2}}=\frac{125}{225}\geqslant 0\]

El signo de la derivada resultó ser negativo a la izquierda y positivo a la derecha del punto crítico. Por ende, es un punto donde la función presenta un mínimo.

Con esto parecería que terminamos de encontrar el punto óptimo y, así, concluimos el problema. ¿No?.

¡Pero espera! Falta algo más. Hay que analizar si los puntos que son frontera del dominio de la función \(C\) son máximos o mínimos locales o globales.

Estudiando las fronteras

La función puede ser que posea valores menores, que el que hallamos como mínimo, para los puntos de la frontera. Es decir, para los puntos donde comienza y termina el dominio. (Este tema lo mencionamos cuando vimos maximos y minimos locales o globales).

El dominio de \(C\) se encuentra restringido entre cero (porque la cantidad de manzanas no puede ser algo negativo) y más infinito.

Por consiguiente, debes analizar el valor de la función cuando \(m\rightarrow 0^{+}\), por un lado, y cuando \(m\rightarrow \infty\), por el otro. Y, seguidamente, establecer si los valores de la función para la frontera, osea el valor de los límites, son menores que el valor de la función para \(m=10\).

Primero calculamos el costo para el punto mínimo encontrado:

\[C(10)=\frac{10^{2}+100}{10}=20\]

Después hay que comparar con los valores que toma \(C\) para las fronteras, y verificar si, de hecho, es el menor valor posible para la función.

Comprobemos esos límites:

\[\lim _{m \rightarrow 0^{+}} C(m)=\lim _{m \rightarrow 0^{+}} \frac{m^{2}+100}{m}=\frac{0^{+}+100}{0^{+}}=\infty>C(10)=20\]

\[\lim _{m \rightarrow \infty} C(m)=\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{m^{2}+100}{m}=\lim _{m \rightarrow \infty}\left(m+\frac{100}{m}\right)=\infty+0=\infty>C(10)=20\]

La función \(C\) toma, en las fronteras, valores mayores que el punto mínimo que encontramos. En consecuencia, podemos afirmar que en \(m=10\) hay un mínimo global.

Finalmente, el problema de optimización nos condujo a responder la pregunta del dueño del almacén (quien debe comprar solo 10 manzanas para que el costo sea el mínimo) y a ahorrar mucho dinero ;)