Graficando Funciones
Introducción
El esbozo de gráficos de funciones es uno de los puntos más tomados en los exámenes y donde los alumnos suelen tener muchos errores.
Por ello te recomiendo que prestes una buena cuota de atención a este tema porque es unos de los más importantes y divertidos!!
¡Comencemos con el paso a paso de cómo realizar la construcción de una gráfica!
Dominio
Primero recordemos: ¿Qué es el dominio de una función?
Es el conjunto de valores que puede asumir la variable \(x\), de manera de que la función \(f\) esté definida.
Básicamente tienes que fijarte en la fórmula de la función y pensar “¿qué valores puedo reemplazar en \(x\) sin que aparezca alguna inconsistencia o error?”. La respuesta es el dominio de la función!
A continuación te brindaré una lista de las cosas que no pueden ocurrir en matemática, que te pueden llevar a encontrar un error o problema y serán de utilidad a la hora de determinar el dominio:
- Los denominadores deben ser \(\neq 0\).
- Siempre que haya una raíz de índice par, su argumento, es decir lo que está dentro de ella, tiene que ser \(\geq 0\):
\[\sqrt[n]{x}\text{ ; con n par }\Rightarrow x\geqslant 0\]
- Siempre que haya un logaritmo, el argumento o antilogaritmo, debe ser \(> 0\):
\(\log_{a}(x) \Rightarrow x> 0\)
Raíces
Las raíces de la función son los valores del dominio para los cuales la función se anula. O, respecto al gráfico, los valores del dominio para los cuales la gráfica de la función se intersecta con el eje \(x\).
Para hallar estos puntos, debes igualar a la fórmula de la función a cero:
\(f(x)=0\)
Ordenada al origen
Es el valor de \(y\) para el cual \(x=0\) y brinda la información de la intersección de la gráfica de la función con el eje \(y\). Para hallarlo debes hacer \(f(0)=y_{0}\), donde \(y_{0}\) es el valor de la ordenada al origen.
Asíntotas
Debes averiguar si la función presenta asíntotas verticales u horizontales. Por lo que te aconsejo que des un vistazo a la teoria de limites, donde ya tratamos este tema.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para tener una mejor idea de cómo será el trazado de la gráfica de la función, es esencial conocer los conjuntos de crecimiento y decrecimiento.
Ya vimos en un capítulo anterior en qué consiste y cómo se realiza el test. Solo debes volver a revisar esta teoría para recordarlo bien.
Tienes que hallar la derivada primera de la función. Luego, hallar para qué valores se anula la derivada (recuerda hallar también para qué valores no existe) y los puntos críticos. Finalmente, a través del “Test de crecimiento y decrecimiento”, analizar cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos
Seguidamente tendrás que determinar los puntos extremos de la gráfica.
Sobre esto hay una explicacion muy buena de cómo hallarlos en el apartado anterior.
Concavidad
Habíamos visto que hay que la derivada segunda de la función y aplicar la “Regla de la derivada segunda”. Después, analizar para qué valores de \(x\) encuentras puntos de inflexión, y para qué intervalos la concavidad de la curva de la gráfica de la función es hacia arriba y hacia abajo.
Trazando una gráfica
¡Genial! Ahora podemos finalmente empezar con el trazado de la gráfica. Hasta aquí tenemos:
- Dominio
- Raíces
- Ordenada al origen
- Asíntotas verticales y horizontales
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Derivada primera. Puntos críticos y análisis del signo
- Máximos y mínimos
- Concavidad. Derivada segunda. Puntos de inflexión y análisis del signo
- Trazo de una gráfica
Entonces, ¡Vamos! Grafiquemos la siguiente función a modo de ejemplo:
\[f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}\]
- Dominio
\[D(f)=\mathbb{R}-\{-1,1\}\]
- Raíces
La única raíz de esta función es: \(x=0\)
- Ordenada al origen
\[f(0)=0\]
- Asíntotas verticales y horizontales
Asíntotas verticales en \(-1^{-},-1^{+}, 1^{+}, 1^{-}\). No hay asíntota horizontal.
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Derivada primera. Puntos críticos y análisis del signo
La derivada primera queda:
\[{f}'(x)=\frac{x^{2}-3}{3\left(x^{2}-1\right)^{4 / 3}}\]
Luego, los puntos críticos son: \(x=1\), \(x=-1\), \(x=\sqrt{3}\) y \(x=-\sqrt{3}\)
Y el análisis del signo de la primer derivada para crecimiento y decrecimiento:
\(f\) es creciente para todo \(x\in \left ( -\infty ,-\sqrt{3} \right )\cup \left (\sqrt{3},\infty \right )\)
\(f\) es decreciente para todo \(x\in \left ( -\sqrt{3},\sqrt{3} \right )\)
- Máximos y mínimos
Aplicando el “Test de la primera derivada”: \(x=\sqrt{3}\) es un punto máximo y \(x=-\sqrt{3}\) es un punto mínimo.
- Concavidad. Derivada segunda. Puntos de inflexión y análisis del signo.
La derivada segunda es:
\[f^{\prime \prime}(x)=\frac{2 x\left(9-x^{2}\right)}{9\left(x^{2}-1\right)^{7 / 3}}\]
Usando la “Regla de la segunda derivada” se concluye lo siguiente:
\(f\) es cóncava hacia arriba para todo \( x\in \left ( -\infty ,-3 \right )\cup \left (-1,0 \right )\cup \left (1,3 \right )\)
\(f\) es cóncava hacia abajo para todo \( x\in \left ( -3,1 \right )\cup \left (0,1 \right )\cup \left (3,\infty \right )\)
\(f\) tiene puntos de inflexión para \(x=\pm 3\), \(x=0\) y \(x=\pm 1\)
Al fin terminamos con la parte que más energía demanda. Ahora sigue lo que tanto se hizo esperar… ¡El dibujo de la gráfica de nuestra función! Puedes ir a buscar una hoja de papel lo suficientemente grande, porque no recomiendo hacer el gráfico con poco espacio (piensa que debe quedar legible para quien lo corrija). Y si es hoja cuadriculada será aún mejor.
¡Manos a la obra! Sígueme a la par en tu hoja.
Lo primero que haremos es trazar los ejes cartesianos, obviamente, y marcar las asíntotas verticales con una línea punteada:
¡Listo! Ahora marcaremos los valores de la función para los puntos críticos, que obtuvimos con el “Test CD”, donde hay máximos y mínimos:
\[f(-\sqrt{3})=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}} \space \text { y } \space f(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}}\]
Ten en cuenta que el signo de los valores conseguidos te dirán si la grafica va a quedar por debajo del eje \(x\) o por arriba.
Paso siguiente, marcaremos las regiones de crecimiento y decrecimiento con rectas de líneas punteadas:
Esas rectas te serán útiles para predecir el comportamiento de la función. Cuando la función es creciente, dibujamos una recta creciente con pendiente positiva, y cuando es decreciente, una recta decreciente con pendiente negativa.
Acuérdate de que las asíntotas son como un muro, impidiendo que continúe el paso de la gráfica. La función no puede “cruzar” ni “tocar” a la recta de la asíntota vertical. Lo que va a suceder, en la mayoría de los casos, es que la función siga hacia más o menos infinito, aproximándose a la recta de la asíntota, cada vez más infinitesimalmente pegada, pero sin tocarse.
Prosigamos con un pasito más para lograr tener nuestra gráfica dibujada. Marcamos los puntos de inflexión, con el mismo esquema que utilizamos para los puntos críticos.
Esos puntos son: \(f(0)=0\) ; \(f(3)=\frac{3}{\sqrt[3]{8}}\) ; \(f(-3)=-\frac{3}{\sqrt[3]{8}}\)
Una forma de marcarlos es encima de las rectas que ya están dibujadas, pero tú puedes hacerlo como quieras.
¡Ya casi está! En un paso más, trazaremos las concavidades de acuerdo a los intervalos hallados. Observa cómo quedaría el gráfico y luego sigue leyendo la explicación de más abajo para terminar de entender lo que hicimos.
Cuando la concavidad es hacia abajo, la curva pasa por encima de la recta de líneas punteadas. Cuando es hacia arriba, la curva pasa por debajo.
En relación a las asíntotas solo tienes que hacer tender a la función a más o menos infinito. Nunca las toca. ¿ok?.
Algo más. Para lograr una mejor aproximación del esbozo de la gráfica, será conveniente marcar los puntos de las raíces y la ordenada al origen. Ya que con esta información sabrás cuándo la función intersecta al eje \(x\) y al eje \(y\), respectivamente.
En nuestro ejemplo, el único punto que tenemos para dibujar es \(f(0)=0\). Por lo tanto, si hacemos pasar a la función por cualquier otro lugar, podría derivar en una pérdida de puntos.
¡¡La gráfica está lista!! Como es solo un bosquejo, nuestro resultado es más que suficiente para lograr una muy buena aproximación y garantizar la aceptación de cualquier profesor.
Muy bien, ahora ve hacia los ejercicios de aplicación que te están esperando!
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