Gráfica de una Asíntota Oblicua

Introducción

En esta oportunidad hablaremos de algunos problemas donde el gráfico de la función contiene una asíntota oblicua y, principalmente, de cómo debemos dibujarla. Pero antes… ¡Relájate! Porque lo más difícil y denso del proceso, para el bosquejo de la gráfica, ya lo hemos visto en el apartado anterior.

Asíntota Oblicua

La asíntota oblicua aparece cuando la función se aproxima mucho a una recta de ecuación \(y=ax+b\), cuando la variable \(x\) tiende a más o menos infinito:

\[x \rightarrow \pm \infty \quad \Rightarrow \quad f \rightarrow a x+b\]

Donde \(a\) es la pendiente y \(b\) la ordenada al origen de la recta.

Como la función se está aproximando cada vez más a una recta, entonces la diferencia entre ambas tiene que ser cero.

Por lo tanto podemos deducir lo siguiente:

\[\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-(a x+b)]=0 \Rightarrow \lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-a x]=b\]

Y luego:

\[a=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}\]

Si los dos límites existen, tendrás una asíntota oblicua determinada por los valores de \(a\) y \(b\). Sencillo ¿no?

¿Cómo luce la gráfica de una función que posee una asíntota oblicua?

La asíntota oblicua se verá de la siguiente forma:

Donde la recta de línea punteada es la recta de la asíntota oblicua a la cual se aproxima la función.

A través de los límites, podrás hallar los coeficientes de la ecuación de la recta de línea punteada. Y, una vez conseguido esto, hay que marcar dos puntos que pertenecen a la recta, como la intersección con los ejes \(x\) e \(y\), y trazarla conectando estos puntos.

Finalmente, sólo queda trazar la gráfica de la función, haciendo que se aproxime a la recta de la asíntota oblicua ;)