Aplicaciones del T.V.M

¿Sabías que también se puede usar el T.V.M para demostrar inecuaciones?

Existen dos tipos de problemas con inecuaciones y que pueden ser resueltos usando el T.V.M. El primero es aquél que involucra solamente números, como por ejemplo:

\[\pi^{e}<e^{\pi}\]

Y aquellos que involucran incógnitas como el siguiente caso donde hay una incógnita “\(x\)”:

\[e^{x} \geq 1, \forall  x \geq 0\]

Comencemos por lo más fácil, que son los problemas con inecuaciones que involucran solo números.

Cuando tienes problemas de este tipo, debes intentar construir la fórmula del T.V.M en la inecuación.

Continuamos resolviendo el ejemplo \(\pi^{e}<e^{\pi}\), despejando todo para el mismo lado:

\[\pi^{e}<e^{\pi} \Rightarrow e^{\pi}-\pi^{e}>0\]

Seguidamente, tenemos que encontrar alguna función que sea igual a cada uno de los términos para un determinado valor. Necesitamos encontrar una función definida en un intervalo que contenga a los valores “\(a\)” y “\(b\)” de manera que:

\[f(b)=e^{\pi} ; f(a)=\pi^{e}\]

Luego, debes construir la fórmula del T.V.M a partir de esto último. Recordando que la fórmula del T.V.M es:

\[{f}'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Si proponemos la siguiente fórmula para \(f\):

\[f(x)=e^{x}\]

Tenemos que \(x=b=\pi\). Entonces nos queda:

\[f(\pi)=e^{\pi}\]

Lo cual satisface el primer término. Y hasta aquí esta fácil la cuestión. Pero ahora surge la pregunta: ¿Cómo podríamos satisfacer el segundo término?. Antes que nada, para que quede bien claro, satisfacer el segundo término significa hallar un valor para \(x\) tal que satisafaga que \(f(x)=\pi^{e}\).

Precisamos encontrar un valor de \(x\) que cambie la base de \(e\) a \(\pi\). Y, para tal fin, podríamos utilizar una de las propiedades del logaritmo que dice:

\[n^{\log _{n}(p)}=p\]

Es decir, cuando un número cualquiera \(n\) está elevado a un logaritmo de base \(n\),el logaritmo se cancela con la base de la potencia y da como resultado el argumento del logaritmo.

Vamos a emplear esa idea para cambiar la base, siendo:

\[x=a=\log _{e}\left(\pi^{e}\right)=\ln \left(\pi^{e}\right)\]

Entonces, evaluando a nuestra \(f\) en ese valor de \(x\) nos queda:

\[f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)=e^{\ln \left(\pi^{e}\right)}=\pi^{e}\]

Por lo tanto:

\[e^{\pi}-\pi^{e}>0 \Rightarrow f(\pi)-f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)>0\]

Si tenemos \(a=\ln \left(\pi^{e}\right)\) y \(b=\pi\), entonces el numerador de la fórmula del T.V.M es:

\[f(\pi)-f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)>0\Rightarrow f(b)-f(a)>0\]

Para terminar de construir la fórmula, solamente nos resta dividir por \(b-a\):

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>0 \Rightarrow \frac{f(\pi)-f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)}{\pi-\ln \left(\pi^{e}\right)}>0\]

¡Excelente!. Ya tenemos la fórmula del T.V.M que buscábamos. Observa que es mayor que cero. 

¿Cómo continuamos con esto?. Bien, recordemos que el T.V.M dice que existe un valor \(c\) perteneciente a un intervalo \((a,b)\) tal que: 

\[{f}'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

En nuestro caso existirá un \(c\) perteneciente a un intervalo \(\left(\ln \left(\pi^{e}\right),\pi\right)\), donde los extremos del intervalo son los valores de \(a\) y \(b\) que determinamos, tal que:

\[{f}'(c)=\frac{f(\pi)-f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)}{\pi-\ln \left(\pi^{e}\right)}>0\]

Sustituyendo esto en la inecuación tendremos que:

\[{f}'(c)>0\]

Esto nos dice que para comprobar la inecuación, solo debemos comprobar que \({f}'(c)>0\). Por ende, sigamos calculando \({f}'(c)\) a partir de la función que hemos propuesto:

\[{f}'(x)={\left(e^{x}\right)}'=e^{x}\]

En el punto \(c\):

\[{f}'(c)=e^{c}\]

Como la función exponencial es siempre positiva, \({f}'(c)>0\) y comprobamos que la inecuación es verdadera.

Veamos ahora el tipo de problemas que presentan incógnitas. Parecen más difíciles de resolver, ¿No?. Pero en realidad la cuestión no cambia mucho. Ya que la metodología es exactamente la misma, empezando por despejar todo hacia el mismo lado respecto a la desigualdad, tal como procedimos antes. 

Para mostrarte cómo se resuelven retomemos el ejemplo que te he mostrado antes y despejemos:

\[e^{x} \geq 1 \Rightarrow e^{x}-1 \geq 0\)]

Necesitamos nuevamente construir la fórmula del T.V.M. 

A diferencia del caso anterior, debemos considerara la incógnita \(x\) como un número \(x_{o}\) mayor a cero:

\[e^{x}-1 \geq 0, \quad p / x \geq 0 \Rightarrow e^{x_{o}}-1 \geq 0\]

Tendremos que intentar transformar esto en la fórmula del T.V.M. 

Para ello hay que encontrar una función \(f\) y un punto “\(b\)”, tal que \(f(b)=e^{x_{o}}\); y un punto “\(a\)” tal que \(f(a)=1\):

\[f(x)=e^{x}\]

Luego:

\[b=x_{o}\Rightarrow f(x_{o})=e^{x_{o}} \]

\[a=0\Rightarrow f(0)=e^{0}=1\]

No cambiará nada respecto a lo que resolvimos antes al principio. Por el T.V.M nos queda:

\[{f}'(c)=\frac{e^{x_{o}}-1}{x_{o}-0} \geq 0\]

De nuevo tenemos:

\[f(x)=e^{x} \Rightarrow {f}’(x)=e^{x}\]

Esta función es siempre mayor a 0 para cualquier valor de \(x\).

Por lo tanto, como la función exponencial es siempre positiva, \({f}'(c)>0\) y se verifica la veracidad de la inecuación.