Inecuaciones del T.V.M

¿Sabías que también se puede usar el TVM para demostrar inecuaciones? Existen dos tipos de problemas con inecuaciones y que pueden ser resueltos usando TVM. El primero es aquél que involucra solamente números, como: 

\[\pi^{e}<e^{\pi}\]

Y aquellos que involucran incógnitas como \(x\):

\[e^{x} \geq 1, \quad p / x \geq 0\]

Como somos personas buenas y sensatas, vamos a comenzar por la más fácil, que es justamente la inecuación que involucra apenas números, o sea, \(\pi^{e}<e^{\pi}\).

Cuando tenemos problemas así, debemos intentar construir la fórmula de TVM en la inecuación. En este caso, comenzamos tirando todo para el mismo lado:

\[\pi^{e}<e^{\pi} \Longrightarrow e^{\pi}-\pi^{e}>0\]

Ahora, tenemos que encontrar alguna función que sea igual a cada uno de los términos para determinado valor. Necesitamos encontrar una función que tenga \(a\) y \(b\) tal que:

\[f(b)=e^{\pi} ; f(a)=\pi^{e}\]

Para que empecemos a construir la fórmula del TVM a partir de eso. Sabiendo que la fórmula del TVM es:

\[f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Si eligiéramos:

\[f(x)=e^{x}\]

Tenemos que en el punto \(x=b=\pi\):

\[f(\pi)=e^{\pi}\]

Que satisface el primer término. Ahora, ¿cómo satisfacer al segundo? Necesitamos un valor que altere la base de \(e\) para \(\pi\).Tenemos una propiedad de los logaritmos que dice que:

\[n^{\log _{n}(p)}=p\]

O sea, cuando un número cualquiera \(n\) está elevado a un logaritmo de base también \(n\) , el logaritmo se cancela con la base y sobra solamente el argumento del logaritmo.

Podemos usar esa idea para cambiar la base, considerando:

                      \[x=a=\log _{e}\left(\pi^{e}\right)=\ln \left(\pi^{e}\right)\]

Pues así:

\[f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)=e^{\ln \left(\pi^{e}\right)}=\pi^{e}\]

Así podemos escribir:

\[e^{\pi}-\pi^{e}>0 \Rightarrow f(\pi)-f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)>0\]

Si llamamos \(a=\ln \left(\pi^{e}\right) \text { y } b=\pi\), entonces tenemos al numerador de la fórmula del T.V.M:

\[f(\pi)-f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)>0\Longrightarrow f(b)-f(a)>0\]

Ahora, basta dividir entre \(b-a\) y tendremos a la fórmula en sí:

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>0 \Rightarrow \frac{f(\pi)-f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)}{\pi-\ln \left(\pi^{e}\right)}>0\]

Impecable. Tenemos ahora que la fórmula del T.V.M aplicada es menor que cero, pero y qué? Ahora tenemos que acordarnos que la fórmula del TVM dice que existe \(c\) perteneciente a un intervalo \((a,b)\) tal que:

\[f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Para este caso existirá \(c\) perteneciente a un intervalo \(\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\pi\right)\), que fueron los valores de \(a\) y \(b\) determinados, tal que:

\[f^{\prime}(c)=\frac{f(\pi)-f\left(\ln \left(\pi^{e}\right)\right)}{\pi-\ln \left(\pi^{e}\right)}>0\]

Podemos sustituir eso en la inecuación y tendremos que:

\[f^{\prime}(c)>0\]

O sea, para comprobar la inecuación, basta comprobar que \(f^{\prime}(c)>0\). Entonces vamos a calcular \(f^{\prime}(c)\) a partir de la función que obtenemos.

                           \[f^{\prime}(x)=\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\]

En el punto \(c\):

\[f^{\prime}(c)=e^{c}\]

Como la función exponencial es siempre positiva, \(f^{\prime}(c)>0\) y comprobamos que la inecuación es verdadera.

¿Recuerdas que te dije que cuando tenemos incógnitas, el problema es más difícil? ¡Pues, mentí!

La verdad es que la historia no cambia mucho. Empezamos tirando todo hacia el mismo lado, como antes:

\[e^{x} \geq 1 \Longrightarrow e^{x}-1 \geq 0\]

Necesitamos sacar la fórmula del T.V.M de eso ahí. La diferencia es que, consideramos al término \(x\) como un número \(x_{0}\) mayor a cero:

\[e^{x}-1 \geq 0, \quad p / x \geq 0 \Rightarrow e^{x_{0}}-1 \geq 0\]

Nuevamente, tendremos que intentar transformar eso en la fórmula de T.V.M. para tal debemos encontrar  \(f\) y \(b\) tal que \(f(b)=e^{x_{0}}\) y \(a\) tal que \(f(a)=1\). En más, nada cambia en relación a lo que ya vimos. Acá tendremos igual al ejemplo anterior:

\[f(x)=e^{x}\]

Ahora 

\[{b=x_{0}}\]

\[{a=0}\]

Y el raciocinio quedará todo igual, el TVM queda

\[f^{\prime}(c)=\frac{e^{x_{0}}-1}{x_{0}-0} \geq 0\]

Nuevamente tenemos

\[f(x)=e^{x} \Rightarrow f^{\prime}(x)=e^{x}\]

Que es siempre mayor a \(0\). Bien, mostraremos lo mismo.