Aproximación Lineal

En un capítulo anterior habíamos visto que la recta tangente a una función, vale lo mismo que la función en el punto de tangencia (es decir, el punto donde la recta toca a la función).

A medida que nos alejamos del punto de contacto, la función y su recta tangente, son cada vez más distintas y se distancian más una de la otra.

Esto lo podemos evidenciar en el próximo gráfico:

La función (en rojo) es igual a la recta tangente (en azul) en el punto de tangencia (en verde). Puedes ver bien que se distancian para los demás puntos cuando nos alejamos del punto donde se intersectan.

Si quisiéramos conocer, de forma aproximada, el valor de la función \(f(x)=\sqrt{x}\) para puntos cercanos a \(x_{o}=9\), ¿Cómo lo hacemos?

La recta tangente se parece a la función para valores próximos al punto de tangencia. Exactamente en ese punto valen lo mismo.

Pero en un entorno al punto de tangencia resulta que:

\[f(x)\cong y_{tg}(x)\]

¡Entonces podríamos aproximar a \(f\) a través de su recta tangente!

La ecuación general de la recta tangente a una función \(f\) en el punto \((x_{o},f(x_{o})\) es:

\[y_{tg}(x)={f}'(x_{o})(x-x_{o})+f(x_{o})\]

Necesitamos determinar los valores del punto \((x_{o},f(x_{o})\) y de \({f}'(x_{o})\) para que quede definida. Como estamos trabajando con la recta tangente a \(f\) para \(x_{o}=9\), entonces ésta pasa por ese punto. Luego:

\[(x_{o},f(x_{o}) = (9, f(9)) = (9,3)\]

Ahora debemos hallar \({f}'\) y evaluarla en \(x_{o}=9\):

\[{f}'(x)={(\sqrt{x})}'=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \Rightarrow {f}'(x_{o})={f}'(9)=\frac{1}{2 \sqrt{9}}=\frac{1}{6}\]

Para terminar con el proceso de obtener la recta tangente en el punto \(x_{o}=9\), sustituimos los valores que encontramos:

\[y_{tg}(x)=\frac{1}{6}(x-9)+3\]

¿Cómo se lleva a cabo la aproximación? Suponte que queremos calcular \(\sqrt{9,1}\) por ejemplo.

Bueno, sabiendo que la función es aproximadamente igual a la recta tangente y que \(x=9,1\) se encuentra relativamente cerca de \(x_{o}=9\), podemos utilizar directamente la fórmula de la recta tangente que conformamos para aproximar el valor de la función en \(x=9,1\) de la siguiente forma:

\[y_{tg}(9,1)=\frac{1}{6}(9,1-9)+3=3,01666...\Rightarrow f(9,1)=\sqrt{9,1}\cong y_{tg}(9,1)=3,01666...\]

Finalmente comprobamos con la calculadora y veremos que \(\sqrt{9,1} \cong 3,01662\), un valor bastante parecido al que encontramos. Difieren recién en la quinta cifra decimal!!

¡¡Sorprendente, no?!! ¡Logramos una excelente aproximación!

Lo que hemos llevado a cabo fue una aproximación lineal de una función. En consecuencia, cada vez que te pidan aproximar linealmente, ya sabes que hay que hacer una aproximación usando la recta tangente.

Para culminar con esta parte te dejo algo de teoría:

Dada una función \(f\) y un punto \(x=x_{o}+\delta \) próximo a \(x_{o}\), entonces se puede aproximar linealmente el valor de \(f(x_{o}+\delta )\) a través de la recta tangente a \(f\) en \(x=x_{o}\):

Encontrando la función y/o el punto…

En muchos de los ejercicios que involucran una aproximación lineal, en el enunciado se puede omitir información para que tú la deduzcas.

Vamos a suponer, tal como en el ejemplo anterior, que necesitas conocer la expresión decimal aproximada del número \(\sqrt{9.1}\).

Pero esta vez podría ocurrir que no esté explicitado cuál es el mejor punto para aproximar con la función \(f(x)=\sqrt{x}\).

En ese caso, será necesario identificar el punto más próximo al de interés, en el cual el valor de \(f(x)\) es conocido.

En el ejemplo habíamos seleccionado como punto de referencia \(x_{o}=9\). 

Incluso también se podría hacer una omisión sobre cuál función deberías utilizar para aproximar \(sqrt{9,1}\), pero explicitando el punto de referencia \(x_{o}=9\). En este caso, necesitas identificar cuál es la mejor función que, en el punto \(x_{o}=9\), toma un valor cercano a \(sqrt{9,1}\). Ya sabes que la función que se adapta mejor es \(f(x)=\sqrt{x}\), porque:

\[f(9)=\sqrt{9} \text { su valor es muy cercano a } \sqrt{9,1}\]

Otra forma de enunciado con la que te puedes enfrentar es la siguiente: “Por aproximación lineal hallar la expresión decimal de \(\sqrt{4,1}\)”.

Donde no tienes más información que esa. No se especifica ni el punto de referencia, ni la función a emplear.

Estos enunciados pueden generar un poco de terror pero a no preocuparse!. Solo necesitas determinar la función y punto adecuados.

¿Y cómo saber cuál es la función y el punto con los que se debería trabajar? La mejor función para aproximar es aquella que al evaluarla en el punto que eliges, toma un valor relativamente cercano al valor pedido. Cuanto más cercano el valor, mejor es la aproximación.

Por ejemplo, también podríamos haber elegido, para la aproximación que realizamos antes, la siguiente función y punto:

\[g(x)=\sqrt{3x} \text{ ; }  x_{o}=3\]

Al evaluar a \(g\) en \(x_{o}\) obtenemos que:

\[g(3)=\sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9} \text { que está próximo a } \sqrt{9,1}\]

La ecuación de la recta tangente es:

\[y_{tg}(x)=\frac{1}{2}(x-3)+3\]

Una vez que se construye la ecuación de la recta tangente hay que tener mucho cuidado de no reemplazar por 9.1 en dicha ecuación.

El motivo de esto es sencillamente porque:

\[g(9,1)=\sqrt{3\cdot 9,1}=\sqrt{27,3}\neq \sqrt{9,1}\]

Lo más apropiado sería conocer el valor de \(x\) por el que debes reemplazar, igualando el argumento de la raíz de la fórmula de \(g\) a 9,1 y despejar de la siguiente manera:

\[3x=9,1\Rightarrow x=3,0333...\]

Entonces:

\[g(3,0333...)=\sqrt{9,1} \cong y_{tg}(3,0333...)=3,01666...\]