Paso 1

Identificamos la indeterminación:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \]

Sustituyendo \(x = 0\), obtenemos \(\frac{0}{0}\), una indeterminación.

Paso 2

Aplicamos la regla de l'Hôpital:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x} \]

Paso 3

Identificamos la indeterminación de nuevo:

 \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x} \]

Sustituyendo \(x = 0\), obtenemos \(\frac{0}{0}\), otra indeterminación.

Paso 4

Aplicamos la regla de l'Hôpital nuevamente:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{2} \]

Paso 5

Evaluamos el nuevo límite:

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{2} = \frac{\cos(0)}{2} = \frac{1}{2} \]

Respuesta

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \]