Paso 1

Identificamos la indeterminación:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \]

   Sustituyendo \(x = 0\), obtenemos \(\frac{0}{0}\), una indeterminación. 

Paso 2

Aplicamos la regla de l'Hôpital:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[\ln(1+x)]}{\frac{d}{dx}[x]} \]

Paso 3

Calculamos las derivadas:

\[ \frac{d}{dx}[\ln(1+x)] = \frac{1}{1+x} \]

 \[ \frac{d}{dx}[x] = 1 \]

Paso 4

Sustituimos las derivadas en el límite:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} \]

Paso 5

Evaluamos el nuevo límite:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1+0} = 1 \]

Respuesta

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]