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Sabiendo que, en el diagrama, \(a=4,0 \mathrm{~cm}\) y que el módulo de \(q\) vale \(3,0 n C\), responda:
\(a)\) ¿Cuál es el valor del potencial eléctrico en el punto \(P\)?
\(b)\) ¿Cuál es la variación energía potencial eléctrica para traer una carga de prueba \(q_{0}=1,0 n C\) del infinito al punto \(P\)?
SoluciónPara determinar el potencial eléctrico en un punto generado por un conjunto de cargas puntuales, podemos utilizar el principio de la superposición, solo tenemos que calcular (por separado) el potencial generado por cada carga y después sumar.
La diferencia de potencial es dada por:
\[\Delta V=-\int \vec{E} \cdot d \vec{r}\]
Recordando que el campo producido por una carga puntual es:
\[E=\frac{k \cdot q}{r^{2}}\]
Sustituyendo, tenemos:
\[\Delta V=-k . q \int \frac{1}{r^{2}} d r\]
\[\Delta V=k . q \cdot\left[r^{-1}\right]_{\infty}^{d}\]
Recordando que \(\frac{1}{\infty}\) tiende a cero, tendremos:
\[V=k \cdot q \cdot d^{-1}\]
Donde \(d\) será la distancia entre el punto \(P\) y la carga analizada.
Para \(2,0 q\), que dista \(d=4,0 \mathrm{~cm}\) de \(P\), tenemos:
\[V_{2,0 q}(P)=k \cdot q \cdot\left(4 \times 10^{-2}\right)^{-1}\]
\[V_{2,0 q}(P)=9 \times 10^{9} \cdot 2,0 \cdot 3,0 \times 10^{-9} \cdot\left(4 \times 10^{-2}\right)^{-1}\]
Para \(-2,0 q\), que dista \(d=4,0 . \sqrt{2} \mathrm{~cm}\) de \(P\), tenemos:
\[V_{-2,0 q}(P)=k \cdot-2,0 q \cdot\left(4 . \sqrt{2} \times 10^{-2}\right)^{-1}\]
\[V_{-2,0 q}(P)=-9 \times 10^{9} \cdot 2,0 \cdot3,0 \times 10^{-9} \cdot\left(4 \sqrt{2} \times 10^{-2}\right)^{-1}\]
\[V_{2,0 q}(P)=-954,6 V\]
Para \(q\), que dista \(d=4,0 \mathrm{~cm}\) de \(P\), tenemos:
\[V_{q}(P)=k \cdot q \cdot\left(4 \times 10^{-2}\right)^{-1}\]
\[V_{q}(P)=9 \times 10^{9} \cdot 3,0 \times 10^{-9} \cdot\left(4 \times 10^{-2}\right)^{-1}\]
\[V_{q}(P)=675 V\]
Por tanto, el potencial en el punto \(P\), será:
\[V(P)=V_{2,0 q}(P)+V_{2,0 q}(P)+V_{q}(P)\]
\[V(P)=1350-954,6+675=1070,4 V\]
\(b)\) Para determinar la energía para traer una carga \(q_{0}\) del infinito al punto \(P\), debemos utilizar la siguiente fórmula:
\[\Delta V=\frac{\Delta U}{q}\]
\[V(P)-V(\infty)=\frac{\Delta U}{q_{0}}\]
\[1070,4-0=\frac{\Delta U}{1,0 \times 10^{-9}}\]
\[\Delta U=1,07 \times 10^{-6} J\]
\(a)\)
\[V(P)=1070,4 V\]
\(b)\)
\[\Delta U=1,07 \times 10^{-6} J\]
