Paso 1

\(a)\) Este caso está representado en el diagrama a continuación. Como el potencial depende de las cargas y de la distancia de estas hasta el punto \(P\) que está en la posición \(y\), vamos utilizar las distancias \(y+a\) y \(y-a\) indicadas.

Por tanto, el potencial total generado por las cargas en el punto \(P\) es

\[V(y)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{y+a}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(-q)}{y-a}\]

Cuando simplificamos esta expresión, tenemos:

\[V(y)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(-2 q a)}{y^{2}-a^{2}}\]

Paso 2

\(b)\) Si \(y \gg a\), también tenemos que

\[y^{2} \gg a^{2}\]

Con eso, el potencial es simplificado para

\[V(y) \approx-\frac{2 q a}{4 \pi \varepsilon_{0} y^{2}}\]

Esta expresión da como resultado el potencial generado por el dipolo eléctrico del módulo \(|\vec{p}|=2 q a\) en el punto \(P\), que está a una distancia \(y \gg a\).

Paso 3

\(c)\) Si cambiamos la posición de las cargas, el potencial en esta nueva situación es

\[V(y)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(-q)}{y+a}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(+q)}{y-a}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{((-y+a)+y+a)}{y^{2}-a^{2}}\]

Simplificando la expresión,

\[V(y)=\frac{2 q a}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(y^{2}-a^{2}\right)}\]

lo que muestra que la inversión de las cargas solo cambia el signo del potencial.

Por tanto, para \(y \gg a\)

\[V(y) \approx \frac{2 q a}{4 \pi \varepsilon_{0} y^{2}}\]

Respuesta

\(a)\) \(V(y)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(-2 q a)}{y^{2}-a^{2}}\)

\(b)\) \(V(y) \approx-\frac{2 q a}{4 \pi \varepsilon_{0} y^{2}}\)

\(c)\) \(V(y) \approx \frac{2 q a}{4 \pi \varepsilon_{0} y^{2}}\)