Introducción a las Funciones de 2 Variables
Introducción a las Funciones de 2 Variables
En primer lugar, queremos aclarar que ahora vamos a trabajar con funciones de \(2\) variables. Esto significa que tanto \(x\) como \(y\) van a variar.
Dominio
Para las funciones de una variable, el dominio es la región del eje \(x\) donde se define la función. Como ahora tenemos dos variables, el dominio será una región del plano.
Al determinar y graficar el dominio de una función, siempre debemos garantizar que:
\(\bullet\) En las fracciones el denominador no puede ser \(0\)
\(\bullet\) Dentro de las raíces cuadradas no puede haber un número negativo
\(\bullet\) El valor dentro de un logaritmo debe ser estrictamente positivo
Entonces si queremos determinar y dibujar el dominio de la función:
\[f(x, y)=x-\frac{\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}}{y}\]
Primero, buscamos las restricciones: tenemos una raíz y un denominador. Entonces, para la raíz, tenemos que lo de adentro no puede ser negativo. Por tanto:
\[25-x^{2}-y^{2} \geq 0 \rightarrow x^{2}+y^{2} \leq 25\]
Y para el denominador, solo tenemos que decir que debería ser distinto de \(0\). Entonces:
\[y \neq 0\]
Finalmente, el dominio \(D\) de la función \(f\) es el conjunto
\[D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | x^{2}+y^{2} \leq 25, y \neq 0\right\}\]
Ten en cuenta que la primera restricción comprende el círculo central en \((0,0)\) y el radio 5 y su interior. Sin embargo, de la segunda restricción, debemos eliminar los puntos que pertenecen al eje \(x\), ya que \(y=0\). La gráfica del dominio es:
Rango o Imagen
La definición de imagen es muy simple: es el conjunto de todos los valores que puede tomar una función. Es decir, si \(D\) es el dominio de la función \(f\), su imagen es el conjunto
\[I=\{f(x, y) ;(x, y) \in D\}\]
Esto significa que, para cada valor dentro de \(D\), colocamos su valor (el número) dentro de la función y obtenemos otro número. Ese número que obtuvimos es parte de la imagen. El conjunto de todos estos últimos valores es la imagen! Siempre debemos estar atentos a las raíces, a los términos cuadrados y los términos exponenciales.
Por ejemplo, vamos a determinar la imagen de la función:
\[g(x, y)=3-\sqrt{x^{2}+3 y}\]
Tenemos
\[\sqrt{x^{2}+3 y} \geq 0 \Rightarrow-\sqrt{x^{2}+3 y} \leq 0 \Rightarrow 3-\sqrt{x^{2}+3 y} \leq 3\]
Es decir, la imagen de \(g\) es el conjunto \((-\infty, 3]\)
Si les dan el gráfico, pueden ver la imagen como los valores de \(y\) que toma la función.
Técnica para dibujar gráficos
Ya hemos visto qué son las funciones de múltiples variables. ¡Ahora nuestra misión es que aprendan a dibujar sus gráficos!
El truco que usaremos para dibujar el gráfico de una función de 2 variables es analizar las curvas de intersección de la gráfica con los planos de coordenadas.
Vamos a dibujar la gráfica de la función:
\[f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\]
Los pasos a seguir son:
\(1.\) Decimos que \(z=f(x, y)\). (En funciones de una única variable decíamos que \(y=f(x)\). Es el mismo concepto, solo que con \(z\))
\[z=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\]
\(2.\) Tratamos de despejar la expresión para que sea la ecuación de una superficie conocida.
\(3.\) Sustituimos \(x=0\) en la ecuación de superficie:
\[x=0 \rightarrow z=\frac{1}{y^{2}}\]
Dibujamos la curva resultante en el plano \(y z\). Para dibujar esta curva sólo recuerda la gráfica de la función \(z=\frac{1}{y}\):
La diferencia es que, debido al término cuadrado, la curva crecerá (y disminuirá) más rápido. Y también tiene el detalle de que la curva estará por encima del eje \(y\), porque \(z>0\).
La curva se verá así:
Ahora podemos pasar a las otras variables.
\(4.\) Haciendo \(y=0\), nos damos cuenta de que la curva será exactamente igual a la que ya hemos hecho.
\[y=0 \rightarrow z=\frac{1}{x^{2}}\]
\(5.\) En el plano \(z=0\) no habrá curva, ¡porque el gráfico no se intersecta con este plano! He aquí el por qué:
\[z=0 \rightarrow \frac{1}{x^{2}+y^{2}}=0\]
Básicamente está diciendo que \(1=0\), ¡lo cual es imposible!
\(6.\) Visualizando el gráfico de la función:
Una cosa que vale la pena mencionar es que en esta función, \(x\) e \(y\) solo aparecen al cuadrado, por lo que el eje \(z\) es un eje de simetría del gráfico. Esto se debe a que podemos cambiar \(x\) por \(-x\), \(y\) por \(-y\), ¡y no cambiaría nada! Así que te dejamos #eltip para funciones como esta. Nos pueden agradecer después.
Es decir, de hecho, nuestro gráfico será como el que está arriba, pero girado alrededor del eje \(z\), dando un giro completo.
\(7.\) Dibujando el gráfico:
Dicho esto, podemos ir al dibujo. Se verá así:
Entonces, les dejamos un bello paso a paso para que aprendan cómo funciona:
\(1.\) Hacer \(z=f(x, y)\)
\(2.\) Ver si se puede arreglar la expresión para que caiga en la ecuación de una superficie conocida (si no puede, vieron que no es un gran problema)
\(3.\) Si funciona y es un caso más trivial, comience con el dibujo. Si no funciona, o si la superficie es difícil de ver, sustituye \(x=0\) en la ecuación y dibuja la curva resultante en ese plano.
\(4.\) Repetir el último paso en el plano \(y=0\)
\(5.\) Hacer también con \(z=0\)
\(6.\) A partir de los 3 dibujos de las curvas en los planos coordenados, visualizar el gráfico de la función.
\(7.\) ¡Hagamos el gráfico!
¿Fantástico, no? Ahora, ¡vayamos a los ejercicios!
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