Métodos Alternos al Criterio de la Segunda Derivada

Ya sabemos que el criterio de la segunda derivada nos permite clasificar los puntos críticos de una función de \(2\) variables. Para ello, debemos calcular el determinante de la matriz hessiana y, dependiendo del signo, determinamos si el punto crítico es un punto máximo, mínimo o de silla de montar.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, vamos a clasificar los puntos críticos de la siguiente función:

\[f(x, y)=x^{2}+y^{4}\]

Calculando las derivadas parciales e igualando a cero, vemos que el único punto crítico es \((0,0)\).

Entonces, la hessiana del punto \((0,0)\) será:

\[H(0,0)=\left|\begin{array}{ll}{f_{x x}(0,0)} & {f_{x y}(0,0)} \\ {f_{y x}(0,0)} & {f_{y y}(0,0)}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{2} & {0} \\ {0} & {12 y^{2}}\end{array}\right|\]

\[H(0,0)=\left|\begin{array}{ll}{2} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right|=2(0)-0(0)=0\]

Y su resultado es cero. ¿Qué hacemos en estos casos?

Pues bien, existen dos métodos que sirven para clasificar los puntos críticos cuando el criterio de la segunda derivada falla.

     \(1.\) Analizar el signo de la función 

Por lo general, en estos casos, el criterio de la segunda derivada falla en el origen. En el ejercicio el origen es \(f(0,0)=0\).

Por tanto, la idea es tratar de tener una noción del gráfico de \(f\) para ubicar el punto \((0,0)\) determinando si corresponde a un punto máximo, mínimo o silla de montar.

Entonces, necesitamos estudiar el signo de la función. Identificar términos que siempre son positivos o negativos puede ser de gran ayuda.

Ten en cuenta que el punto crítico es \(0,0\) en este ejercicio.

Observando con detenimiento el signo de la función:  

\[f(x, y)=x^{2}+y^{4}\]

Tenemos que \(x^{2} \geq 0\) y \(y^{4} \geq 0\), ¿cierto? Entonces \(f(x, y) \geq 0\)

Y, precisamente, el valor de la función en \((0,0)\) es \(0\), por tanto, \(f(x, y) \geq f(0,0)\), para cualquier \((x, y)\).

Esto quiere decir que es el punto mínimo global de \(f\) ¿ves? Sin mucho esfuerzo clasificamos el punto crítico. 

     \(2.\) Aproximación por diferentes vías

Si nos aproximamos a un punto crítico por diferentes vías, encontraremos que, por un lado se trata de un punto máximo, mientras que por otro, un punto mínimo, entonces ¿cuál de los dos es? Se trata de un punto de silla de montar.

Veamos un ejemplo similar al anterior:

\[f(x, y)=x^{2}-y^{4}\]

Debido a su similitud con el ejemplo anterior no vamos a calcular nada para así ahorrar tiempo. Creeme cuando te digo que el criterio de la segunda derivada también falla en el punto \((0,0)\) de esta función. Y, del mismo modo, tenemos \(f(0,0)=0\). El problema es que no podemos decir nada sobre el signo de la función, porque es la suma de un término positivo con un término negativo.

Es hora de aplicar el otro método. Por ejemplo, podemos decir que \(x=0\). De tal forma, la función solo depende de \(y\):

\[f(0, y)=f(y)=-y^{4}\]

El gráfico de esta función es una parábola hacia abajo cuyo vértice es el origen. Por tanto, en este caso el origen es un punto máximo.

Por otro lado, suponiendo que \(y=0\):

\[f(x, 0)=f(x)=x^{2}\]

Tenemos una parábola hacia arriba, donde el origen es un punto mínimo. Esto era exactamente lo que queríamos.

En realidad, esto significa que el origen es un punto de silla de montar.

Ambos métodos son super sencillos, además de fáciles de utilizar. Sin más que decir, ¡vamos a los ejercicios!