Funciones de 2 Variables, Curvas de Nivel y Gráfico

Gráficos y Curvas de nivel

Podemos asociar las curvas de nivel de una función con su gráfico. Si una pregunta te da varios gráficos/mapas de contorno, y te piden que los relaciones, imagina que tomas un cuchillo y cortas los gráficos en partes muy pequeñas, del grosor de una hoja, o como si cortaras una zanahoria.

Tengan en cuenta que las curvas de nivel de una zanahoria ideal son circunferencias:

De todos modos, la idea es tomar las curvas de nivel que tienen en el plano \(2D\) y pensar en ellas como si estuviesen en el plano \(3D\). ¡El secreto está en esta transición! Para eso les vamos a dar una pequeña ayuda: piensen que cuando les dan un mapa de contorno, aplastaron todas las curvas a la hoja. Así. vean el siguiente ejemplo como ayuda:

Imaginemos que tenemos el siguiente mapa de contorno:

Ten en cuenta que las curvas de nivel son circunferencias. Podemos expresarlas en \(3\) Dimensiones, de acuerdo a la altura, o el valor \(z\), de cada una de ellas. Tendremos:

Entonces, el gráfico de la función será:

Lo que hicimos aquí no fue más que utilizar las curvas de nivel o el mapa de contorno de la función para encontrar su gráfico.

¡Vamos a los ejercicios!