Extremos Globales de una Región Cerrada
Además de hallar los extremos de una función en todo su dominio, también podemos hallarlos en una región cerrada. Estos claramente serán los puntos más altos (máximos) o los más bajos (mínimos).
Para ello, sólo vamos a considerar los puntos críticos dentro de la misma. También tendremos que ver la frontera de la región, puesto que los extremos pueden estar en los puntos críticos, o en la frontera.
Cuidado: al examinar el dominio de una función, quizá no encuentres máximos o mínimos globales, sin embargo, al analizar una región cerrada, puede que sí.
Por ejemplo, la función \(f(x, y)=x^{2}+y^{2}\) no tiene un máximo global: podemos aumentar el valor de \(f\) tanto como queramos, aumentando de \(x\) y \(y\).
Si hacemos una restricción, por ejemplo, el rectángulo \(|x| \leq 1\) y \(|y| \leq 3\), es otro caso completamente. En esta región, \(f\) tiene un máximo global cuando \(x=\pm 1\) y \(y=\pm 3\), y su valor es \(( \pm 1)^{2}+( \pm 3)^{2}=10\).
Generalmente la región cerrada en la que trabajamos es un rectángulo, donde \(x\) y \(y\) están delimitadas por dos constantes.
En el ejemplo anteriormente mencionado, el rectángulo es:
La ventaja es que las fronteras de un rectángulo son fáciles de analizar, puesto que son rectas.
Como puedes ver, en cada lado del rectángulo una de las coordenadas \((x \text { o } y)\) es fija, mientras que la otra varía. Es decir, incluso si una función tiene \(2\) variables, en los lados de un rectángulo como este, sólo depende de una.
Es como si tuviéramos \(4\) funciones de \(1\) variable (una para cada lado). Y luego tenemos que encontrar los puntos críticos de estas "subfunciones", derivando e igualando la derivada a cero.
Todos los puntos críticos encontrados en los \(4\) lados serán candidatos para los puntos máximos o mínimos de la función.
Para una mejor comprensión, veamos un ejemplo: determinar el máximo y mínimo global de la función:
\[f(x, y)=x^{2}+y^{2}-3 x+y\]
En la región delimitada por \(|x| \leq 2\) y \(|y| \leq 2\).
Siguiendo los pasos para hallar los puntos críticos, tendremos que:
\[\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)\]
Ten en cuenta que dicho punto pertenece a la región porque satisface a \(|x| \leq 2\) y \(|y| \leq 2\). Así que vamos a guardarlo.
El siguiente paso es probar la frontera. Cuando tenemos un rectángulo (en este caso, un cuadrado), lo primero que tenemos que hacer es separar sus vértices. Estos automáticamente son candidatos para puntos máximos o mínimos. ¡Así que no los olvides!
En este caso, tenemos los puntos:
\[(-2,-2),(-2,2),(2,-2),(2,2)\]
De esta forma, podemos sumar \(4\) puntos más a la lista.
Veamos las fronteras, que no son más que los lados del cuadrado.
Vamos a enumerarlos de la siguiente forma:
Comenzando por el lado \(1\). En él tenemos que:
\[x=-2 \text { y }-2 \leq y \leq 2\]
Como \(x\) es fija, este lado de la función solo depende de \(y\).
\[f(x, y)=f(-2, y)=(-2)^{2}+y^{2}-3(-2)+y\]
\[f(-2, y)=4+y^{2}+6+y=y^{2}+y+10\]
Derivando la función:
\[f^{\prime}(-2, y)=2 y+1\]
E igualando la derivada a cero, para encontrar los puntos críticos:
\[f^{\prime}(-2, y)=0\]
\[2 y+1=0\]
\[\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\]
De este lado sólo tenemos un punto crítico. \(x\) es fija, su valor es \(-2\), y encontramos que \(y=-\frac{1}{2}\), por tanto, el punto es \(\left(-2,-\frac{1}{2}\right)\).
¡Haremos lo mismo con el resto de lados!
En el lado \(2\), tenemos que:
\[y=2 \mathrm{y}-2 \leq x \leq 2\]
En este lado la función sólo depende de \(x\), ya que \(y\) es fija:
\[f(x, y)=f(x, 2)=x^{2}+2^{2}-3 x+2\]
\[f(x, 2)=x^{2}-3 x+6\]
Derivando e igualando a cero:
\[f^{\prime}(x, 2)=2 x-3=0\]
\[\Rightarrow x=\frac{3}{2}\]
Por tanto, en el lado \(2\) tenemos un nuevo candidato: el punto \(\left(\frac{3}{2}, 2\right)\).
En el lado \(3\):
\[x=2 \text { y }-2 \leq y \leq 2\]
Entonces:
\[f(x, y)=f(2, y)=2^{2}+y^{2}-3(2)+y\]
\[f(2, y)=4+y^{2}-6+y=y^{2}+y-2\]
Derivando e igualando a cero:
\[f^{\prime}(2, y)=2 y+1=0\]
\[\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\]
Por tanto, el punto es: \(\left(2,-\frac{1}{2}\right)\).
Vamos al último lado, el lado \(4\):
\[y=-2 \text { y }-2 \leq x \leq 2\]
Tenemos:
\[f(x, y)=f(x,-2)=x^{2}+(-2)^{2}-3 x-2\]
\[f(x,-2)=x^{2}+4-3 x-2=x^{2}-3 x+2\]
Entonces:
\[f^{\prime}(x,-2)=2 x-3=0\]
\[\Rightarrow x=\frac{3}{2}\]
Finalmente hallamos el último punto, \(\left(\frac{3}{2},-2\right)\).
¡Ya casi terminamos! En resumen, los candidatos para ser punto máximo y mínimo de \(f\) son: el punto crítico de \(f\), los \(4\) vértices del rectángulo, más los \(4\) puntos de sus lados:
\[\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right),(-2,-2),(-2,2),(2,2),(2,-2),\left(-2,-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{3}{2}, 2\right),\left(2,-\frac{1}{2}\right) \text { y }\left(\frac{3}{2},-2\right)\]
A continuación, debemos calcular el valor de la función en todo los puntos: el menor será el mínimo global, mientras que el mayor será el máximo global.
El valor más bajo está en el primer punto, mientras que el más grande en el tercero.
Por tanto, los puntos \(\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)\) y \((-2,2)\) son, respectivamente, los puntos mínimos y máximos globales de \(f\) dentro del rectángulo \(\{|x| \leq 2,|y| \leq 2\}\).
El valor mínimo es \(-\frac{5}{2}\), y el máximo \(16\).
Estos problemas no suelen ser difíciles, sin embargo, pueden tornarse tediosos debido a la gran cantidad de operaciones repetitivas.
En resumen, los pasos a seguir son:
\(\bullet\) Hallar los puntos críticos de la función.
\(\bullet\) Determinar cuáles están en la región cerrada.
\(\bullet\) Guardar los que estén en ella y descartar los que no estén.
\(\bullet\) Guardar los vértices de la región.
\(\bullet\) Hallar los candidatos a máximo y mínimo en la frontera, lado por lado.
\(\bullet\) Calcular el valor de la función en todos los puntos encontrados.
\(\bullet\) Determinar cuál es el mínimo y máximo global.
¡Eso es todo, no olvides seguir practicando!
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