Puntos Críticos de Funciones de Múltiples Variables

Los puntos críticos son aquellos en los que las derivadas parciales valen cero, o al menos una de ellas no existe.

Veamos un ejemplo. Tenemos que hallar los puntos críticos de la siguiente ecuación:

\[f(x, y)=x y-x^{3}-y^{2}\]

Calculamos las derivadas parciales de \(f\) y las igualamos a cero, tal como lo hacíamos con las funciones de \(1\) variable. La diferencia es que ahora tenemos varias derivadas parciales.

Entonces, para que un punto sea crítico, al menos una de ellas no debe existir, o todas deben ser cero.

Y así obtenemos el sistema:

\[\left\{\begin{array}{l}{\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=y-3 x^{2}=0} \\ {\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=x-2 y=0}\end{array}\right.\]

Por último, debemos resolver el sistema y hallar el (los) punto(s) crítico(s).

Resolviendo el sistema tenemos, a partir de la segunda ecuación:

\[x=2 y\]

Sustituyendo en la primera, tenemos:

\[y=12 y^{2}\]

\[y=0 \text { o } y=\frac{1}{12}\]

Si \(y=0\), entonces \(x=0\). Y si \(y=\frac{1}{12}\), entonces \(x=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\).

Por tanto, \(f\) tiene \(2\) puntos críticos, los puntos \((0,0) \text { y}\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right)\).

¡Eso es todo! Y no olvides que la práctica hace al maestro.