Aproximación Lineal de una Función de Múltiples Variables

Tal vez has oído hablar sobre las aproximaciones lineales, ¿verdad?

Al igual que en las funciones de una variable, donde usamos una recta como la aproximación lineal de una curva en un punto, la aproximación lineal de una función de dos variables es el plano tangente.

Esto se debe a que cerca del punto tangencial, donde está el plano tangente a la gráfica de la función, no podemos distinguir cuál es la gráfica de la función y cuál es el plano tangente, de modo que alrededor del punto tangencial, los valores para el plano y la superficie son casi iguales. Por tanto, decimos que el plano tangente es la aproximación lineal a la superficie en un punto dado.

Echémosle un vistazo:

Matemáticamente, lo que tenemos es: 

\[f(x, y) \approx f\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{x}\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(y-y_{0}\right)\]

\[f(x, y) \approx L(x, y)\]

Donde \(L(x, y)\) es la aproximación lineal de la función \(f\). Como puedes ver, es la misma expresión del plano tangente.

Pero,…¿para qué querríamos aproximar una función si podemos usar la función verdadera?

Sencillo, porque a veces la función real es muy complicada, por lo que es mucho más fácil trabajar con su linealización.

Veamos un ejemplo:

Determine el valor aproximado de la función \(z=f(x, y)=1-x^{2}-2 y^{2}\), encontrando su valor en el punto \((1,01 ; 0,98)\).

Recuerda que, para encontrar la aproximación lineal de la superficie, necesitamos el plano tangente alrededor de un punto.

Debido a que el punto dado por el enunciado es un poco complicado, \((1,01 ; 0,98)\), vamos a usar la aproximación más cercana a cada número, es decir, \((1,1)\), en el plano tangente.

Para calcular el plano tangente en el punto \((1,1)\):

\[z=f\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{x}\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(y-y_{0}\right)\]

Tenemos que hallar \(f_{x}\) y \(f_{y}\):

\[f_{x}=-2 x\]

\[f_{y}=-4 y\]

En el punto \((1,1)\):

\[f_{x}=-2\]

\[f_{y}=-4\]

Entonces, la ecuación del plano tangente es:

\[z=f(1,1)+f_{x}(x-1)+f_{y}(y-1)\]

\[z=-2-2(x-1)-4(y-1)\]

\[2 x+4 y+z=4\]

Entonces, para valores de \((x, y)\) próximos a \((1,1)\) podemos hacer \(z=4-2 x-4 y\)

El punto pedido está cerca de \((1,1)\), por lo que el valor aproximado de la función será:

\[z=4-2(1,01)-4(0,98)\]

\[z=4-2,02-3,92\]

\[z=-1,94\]

Y ese será el valor aproximado para la función \(z=f(x, y)\).

En esta función, hacer los cálculos suele ser bueno, pero esta aproximación sirve para funciones cada vez más complicadas, el valor exacto en el punto \((1,01 ; 0,98)\) será:

\[z=-1,9409\]

Ten en cuenta que estos valores son realmente muy similares entre sí. Pero obviamente, como una aproximación, no son idénticos. Esto significa que cuando hacemos la aproximación lineal, cometemos un error.

\[E(x, y)=f(x, y)-L(x, y)\]

En este caso, el error sería:

\[E(x, y)=-1,9409-(-1,94)=-0,0009\]

Está bien, pero como dijimos antes, no siempre será bueno hacer los cálculos en la expresión de la función. Entonces, ¿cómo calculamos el error?

Usando la fórmula:

\[|E(x, y)|=\frac{1}{2} M\left(\left|x-x_{0}\right|+\left|y-y_{0}\right|\right)^{2}\]

Donde \(M\) es cualquier límite superior a los valores de \(\left|f_{x x}\right|,\left|f_{y y}\right|\) y \(\left|f_{x y}\right|\).

¡Vamos a los ejercicios!