Demostrar la Inexistencia del Límite en Funciones de Múltiples Variables

Infinitas rectas

Mira el siguiente límite:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x}{x+y}\]

Sustituyendo los valores, encontramos la indeterminación \(\frac{0}{0}\). 

Como el dominio es una región en el plano \(x y\) (y no solo de un eje), las rectas que vamos a usar para llegar al punto \((0,0)\) son curvas en \(x y\), y no solo del eje \(x\).

“¿Cómo así?” Vamos a escoger dos curvas para llegar al punto \((0,0)\). En este caso vamos a escoger \(y=x\) y \(y=2x\). Tú puedes escoger otros. Simplemente vamos a ilustrar cómo usar las ecuaciones como rectas en la expresión del límite.

Vamos a comenzar calculando el límite a través de la recta \(y=x\). En la práctica, sólo debemos sustituir \(y=x\) y calculamos el límite:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x+x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]

Pareciera arte de magia que \(y\) desapareció del límite. Pero, no lo es. Si estamos en la recta correcta \(y=x\), cuando \(x\) tiende a \(0\), \(y\) también lo hace.

Vamos a calcular el límite por otra recta: la recta \(y=2 x\):

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x+(2 x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{3 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\]

¡Los límites son distintos! Si alguno da un valor distinto, entonces el límite en dicho punto no existe. Por tanto, es bastante sencillo probar que el límite no existe.

Gráficamente, lo que hicimos fue “andar” sobre las dos rectas, usándolas como “caminos” para hacer que \((x, y)\) “llegue a” \((0,0)\). Imagina que son “caminos” para llegar al punto \((0,0)\). 

¿Recuerdas que dije que podríamos usar otras curvas que “lleguen” a \((0,0)\), es decir, que pasan por ese punto? ¿Cuántas curvas piensas que pasan por dicho punto? Tenemos \(y=x, y=x^{2}, y=3 x, y=x^{3}\),…, es decir, infinitas curvas pasan por \((0,0)\).

¿Entonces, tendríamos infinitas curvas para llegar a \((0,0)\)? ¡Exactamente!

Cuando hablamos del límite de múltiples variables, el número de “caminos” posibles para llegar a un punto es infinito, porque dichos “caminos” son dados por curvas en \(x y\) que pasan por el punto. Entonces tenemos infinitas posibilidades. 

En las funciones de \(1\) variable, la variable \(x\) puede aproximarse al valor de \(x_{0}\) justo por encima del eje \(x\): las únicas opciones están a la derecha e izquierda de \(x_{0}\). 

Hemos visto que cuando estos límites son iguales, el límite existe. Si son diferentes, el límite no existe.

Por otro lado, en las funciones de dos variables, las variables \(x\) e \(y\) pueden aproximarse al punto \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) por cualquier camino en el plano \(x y\).

Grados del numerador y denominador

¿En qué situaciones tendríamos que comprobar la inexistencia de un límite indeterminado?

Cuando el grado del numerador es menor o igual al grado del denominador. En el ejemplo anterior, el grado del numerador es \(1\) y el grado del denominador también lo es. Ese es un buen indicio de que el límite no existe.

Nota: Cuando \(x\) y \(y\) se multiplican, suma los exponentes para determinar el grado.

Ejemplo:

\[\lim _{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2} x^{2}}{y^{4}+x^{4}}\]

El grado del numerador es: \(2+2=4\)

Y el del denominador también es \(4\). Ese es un buen indicio de que el límite probablemente no existe.

Calculemos el límite a través de \(x=m y\) y veamos su resultado:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2}(m y)^{2}}{y^{4}+(m y)^{4}}=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{4} m^{2}}{y^{4}+m^{4} y^{4}}=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{4} m^{2}}{y^{4}\left(1+m^{4}\right)}=\]

\[=\lim _{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \rightarrow(0,0)} \frac{m^{2}}{1+m^{4}}=\frac{m^{2}}{1+m^{4}}\]

Entonces, el límite depende de \(m\). Por tanto, no existe.

NOTA: si la respuesta depende de \(m\) el límite no existe.

¿Por qué fue bueno usar \(x=m y\)? Porque facilitó el cálculo, tanto al despejar \(y\) en el denominador como al despejar \(y\) en el numerador. Puesto que todos los términos \(y\) tendrán el mismo exponente. Si hubiéramos usado \(x=m y^{2}\):

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2}\left(m y^{2}\right)^{2}}{y^{4}+\left(m y^{2}\right)^{4}}=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2} m^{2} y^{4}}{y^{4}+\left(m y^{2}\right)^{4}}=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{6} m^{2}}{y^{4}+m^{4} y^{8}}\]

¿Complejo, verdad?

Para estos casos tenemos un consejo: podemos escoger rectas convenientes. ¿Y cuál recta escogemos? Escogemos la recta que nos deje todos los términos del numerador que están en suma con el mismo exponente, al igual que con los términos del denominador. 

En este caso fue sencillo porque los términos del numerador y denominador terminaron con exponentes iguales. Lo cual no es necesario pero lo hace todo más fácil. 

Podríamos escoger \(y=m x\), y funcionaria tal como \(x=m y\), por el motivo que acabamos de ver. 

¡Vamos a los ejercicios!