Límites de Funciones de Múltiples Variables

Sí, volvemos a hablar sobre límites. Por suerte, no es un tema complicado, pero lo mejor es prestes atención.

Al igual que para funciones de \(1\) variable: ¿a qué valor tiende la función cuando nos acercamos a cierto punto?

En este caso tenemos \(x\) y \(y\), que simultáneamente tienden a dos valores independientes. La expresión del límite es:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}: y_{0}\right)} f(x, y)\]

Y se lee como: “El límite de \(f(x, y)\) cuando \(x\) tiende a \(x_{0}\) y \(y\) a \(y_{0}\)”.

En realidad, se trata de sustituir los valores de \(x\) y \(y\) directamente y ver qué sucede.

Por ejemplo:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} 2 x+3 y=?\]

Sustituyendo los valores:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} 2 x+3 y=2(1)+3(2)\]

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} 2 x+3 y=2+6\]

\[\Rightarrow \lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} 2 x+3 y=8\]

Nota: las propiedades del límite aplican para todas las funciones, independientemente del número de variables. Las propiedades son:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} c=c\]

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)}[c \cdot f(x, y)]=c \cdot \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)\]

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)}[f(x, y) \pm g(x, y)]=\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y) \pm \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} g(x, y)\]

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)}[f(x, y) g(x, y)]=\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y) \cdot \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} g(x, y)\]

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)}=\frac{\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)}{\lim _{(x, y) \rightarrow(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} g(x, y)}\]

Y si \(\boldsymbol{f}\) es compuesta, tendremos:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(g(x, y))=f\left(\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} g(x, y)\right)\]

¡Eso es todo amigos, vamos a los ejercicios!