Curvas Parametrizadas y Curvas de Nivel

Introducción

Vamos a estudiar qué sucede cuando mezclamos las curvas de nivel con la parametrización de curvas.

Por este motivo, es fundamental que manejen bien el parametrizar las curvas más clásicas (líneas rectas, elipses...).

También es bueno saber cómo dibujar una curva cuando se enfrenta a su parametrización, pero eso lo van a lograr con práctica.

Curva parametrizada contenida en una curva de nivel 

Es común encontrarnos con el siguiente problema: te dan una curva parametrizada del tipo \(\gamma(t)\) y te piden probar que su imagen está contenida en una curva de nivel de una determinada función \(f\).

Básicamente, lo que debemos recordar es que en una curva de nivel la función es constante. O sea:

\[f(\gamma(t))=\text { constante }\]

Y esa constante es precisamente el nivel de la curva de nivel.

En la práctica, lo que tenemos que hacer es colocar las expresiones de la parametrización en la función y ver si obtenemos un número de ellas. Un poco confuso ¿no? No se hagan drama, con este ejemplo lo van a entender.

Por ejemplo, consideremos una curva  \(\gamma(t)\) y una función \(f(x, y)\):

\[\gamma(t)=(\operatorname{sen} t-1, \cos t+2)\]

\[f(x, y)=(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\]

Basta con hacer:

\[f(\gamma(t))=f(\operatorname{sen} t-1, \cos t+2)\]

Lo que da:

\[(\operatorname{sen} t-1+1)^{2}+(\cos t+2-2)^{2}=\operatorname{sen}^{2} t+\cos ^{2} t=1\]

Básicamente, lo que hicimos fue tomar \(\gamma(t)\) como si fueran puntos en \((x,y)\), y los sustituimos en \((x,y)\) de la función. Del resto, resolvimos como solemos hacerlo.

Por tanto, la curva \(\gamma\) está contenida en la curva de nivel \(1\) de la función \(f\).

¡Y eso es todo!

Si tienes preguntas sobre la parametrización y el trazado de curvas, ¡échale un vistazo al capítulo donde hablamos de eso! :)

¡Vamos a los ejercicios!