Regla de la Cadena – \(1\) Parámetro

Introducción

Para funciones de múltiples variables existen 3 casos en donde puede ser utilizada la regla de la cadena. Sigue el mismo principio que la regla de la cadena para funciones de 1 variable, es decir, derivar función de afuera y multiplicarla por la derivada de la función de adentro. ¡Sin más que agregar, comenzemos!

Caso \(N^{\circ} 1\) – 1 parámetro

En este caso la función "de fuera" tiene dos variables, \(x\) y \(y\), y cada una de ellas depende de una sola variable \(t\). 

Entonces:

\[f=f(x, y)\]

\[x=x(t)\]

\[y=y(t)\]

\[\Rightarrow f=f(x(t), y(t))\]

Mira este ejemplo:

\[f=f(x, y)=x^{5} y^{2}+3 x^{2} y+10\]

\[x=x(t)=2 e^{t}\]

\[y=y(t)=3 \ln t\]

Si sustituimos \(x(t)\) y \(y(t)\) en la función \(f(x, y)\), llegaremos a una función de variable \(t\).

¡Pero sería super trabajoso! Derivar la función que quedaría con una única variable se hace muy largo, así que la regla de la cadena nos ayudará un poco:

La fórmula que usamos es sencilla. Sólo necesitas memorizar lo siguiente:

\[\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}\]

Consejo: recuerda la regla de la cadena para funciones de una variable. 

Como puedes notar, podemos definir una función \(\sigma(t)\) de esta manera:

\[\sigma(t)=(x(t), y(t))\]

O sea, tenemos que

\[f=f(\sigma(t))\]

Entonces, la regla de la cadena queda así:

\[\frac{d f}{d t}=\nabla f \cdot \sigma^{\prime}(t)\]

El producto escalar entre el vector gradiente y la derivada de la función vectorial, da como resultado la fórmula anterior:

\[\frac{d f}{d t}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) \cdot\left(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}\right)\]

\[\Rightarrow \frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}\]

En el ejemplo, la derivada en relación a \(t\) en el punto correspondiente a \(t=1\) sería:

     \(\bullet\) El punto correspondiente a \(t=1\) es: 

\[(x(1), y(1))=\left(2 e^{1}, 3 \ln 1\right)=(2 e, 0)\]

     \(\bullet\) El gradiente de \(f\) en este punto es: 

\[f(x, y)=x^{5} y^{2}+3 x^{2} y+10\]

\[\nabla f(x, y)=\left(5 x^{4} y^{2}+6 x y, 2 x^{5} y+3 x^{2}\right)\]

\[\nabla f(2 e, 0)=\left(0,12 e^{2}\right)\]

La función es:

\[\sigma(t)=(x(t), y(t))=\left(2 e^{t}, 3 \ln t\right)\]

     \(\bullet\) La derivada de la función\(\sigma(t)\) en \(t=1\) es: 

\[\sigma^{\prime}(t)=\left(2 e^{t}, \frac{3}{t}\right)\]

\[\sigma^{\prime}(1)=\left(2 e^{1}, \frac{3}{1}\right)=(2 e, 3)\]

     \(\bullet\) Finalmente, la derivada de \(f\) en relación a \(t\) en el punto correspondiente a \(t=1\) es: 

\[\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}\]

\[\Rightarrow \frac{d f}{d t}(2 e, 0)=0 \cdot(2 e)+12 e^{2} \cdot(3)=36 e^{2}\]

Entonces, los pasos a seguir son:

     \(1.\) Determinar el punto \(P_{0}\) correspondiente a \(t_{0}\) dado \(-P_{0} \rightarrow\left(x\left(t_{0}\right), y\left(t_{0}\right)\right)\)

     \(2.\) Calcular el gradiente de \(f=f(x, y) \rightarrow \nabla f(x, y)\)

     \(3.\) Calcular el gradiente de \(f\) en el punto \(P_{0} \rightarrow \nabla f\left(x\left(t_{0}\right), y\left(t_{0}\right)\right)\)

     \(4.\) Definir una función \(\sigma(t)=(x(t), y(t))\)

     \(5.\) Derivar la función \(\sigma(t)\)

     \(6.\) Calcular la derivada de la función \(\sigma(t)\) en el punto \(t_{0}\) dado

     \(7.\) Sustituir los resultados obtenidos en la fórmula \(\frac{d f}{d t}\left(t_{0}\right)=\nabla f\left(x\left(t_{0}\right), y\left(t_{0}\right)\right) \cdot \sigma^{\prime}\left(t_{0}\right)\)

Parece largo, pero el proceso es rápido. ¡Suerte con los ejercicios!