Derivadas Parciales de Orden Superior

¿Cómo se calculan?

Las derivadas parciales, así como las derivadas normales, pueden derivarse tantas veces como queramos.

Por tanto, si la derivada parcial de primer orden de una función \(f(x, y)\) con respecto a \(x\) es:

\[\frac{\partial f}{\partial x}=f_{x}=y+2 x\]

Podemos derivarla en función de \(x\) nuevamente para así hallar la derivada parcial de segundo orden:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{x x}=2\]

Pero, quizá quieras derivar la derivada parcial con respecto a \(x\) y \(y\). Para así hallar la derivada parcial mixta:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{x y}=1\]

Ocurre lo mismo con la derivada parcial con respecto a \(y\).

Digamos que la derivada parcial de primer orden con respecto a \(y\) es

\[\frac{\partial f}{\partial y}=f_{y}=x+2 y\]

Así que la derivada parcial de segundo orden con respecto a \(y\) será:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{y y}=2\]

Y la derivada parcial mixta de segundo orden con respecto a \(x\) será:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{y x}=1\]

¿Entendido?

Presta mucha atención a lo siguiente:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=1\]

¿Será coincidencia? ¡Claramente no!

Esto sucederá (casi) siempre.

No sucederá en casos muy particulares, como cuando las derivadas parciales de segundo orden no sean continuas en cierto punto. En este caso, las derivadas parciales mixtas no serán iguales, pero solo en ese punto.

¿Todo claro?

Imagina que tienes la siguiente función

\[f(x, y)=x \ln x y\]

Y quieres encontrar su derivada parcial mixta.

¿Qué crees que sea mejor? ¿Derivar primero a \(x\) y luego a \(y\) o al contrario?

Pensemos juntos: si primero derivamos en relación a \(x\), tendremos que usar la regla de producto, ¿verdad? Por tanto, no es una buena idea. Busquemos una alternativa:

Si primero derivamos en relación a \(y\), \(x\) será una constante y sólo tendremos que hacer una derivación con una regla de cadena con \(\ln x y\). Mucho mejor, ¿verdad?

Entonces, tendremos:

\[\frac{\partial f}{\partial y}=x \cdot \frac{1}{x y} \cdot x=\frac{x}{y}\]

Cuando hagamos la derivada en relación a \(x\), la derivada en relación a \(y\) también será sencilla:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y}\]

¿Entendido?

Cada vez que hagamos derivadas parciales mixtas, (como sabemos que deben ser iguales) lo mejor es derivar en relación a la derivada más simple, es decir, la que haga el proceso más sencillo.

Sabiendo esto, ¡vamos a los ejercicios!