Clasificación de los Puntos Críticos en \(R^{2}\)

En esta ocasión aprenderemos a usar los puntos críticos de una función. En cuanto a las funciones de una variable, esto servirá para hallar sus extremos.

Para el caso de las funciones de \(1\) variable, teníamos tres posibilidades cuando la derivada era cero: máximo, mínimo o punto de inflexión (ni máximo ni mínimo).

Luego, aplicabamos el criterio de la segunda derivada. Dependiendo del signo de la segunda derivada, se podía saber cuál de las opciones era (la función empezaba a disminuir de valor, o a subir; es decir, máximo o mínimo, respectivamente).

En este caso, tenemos un nuevo criterio de la segunda derivada. Será la forma de clasificar los puntos críticos en las funciones de \(2\) variables.

El criterio de la segunda derivada consiste en calcular el determinante de la matriz hessiana en el punto crítico \(P_{0}\) y analizar su signo.

¿Qué es la matriz hessiana? Es una matriz de \(2 \times 2\) con las derivadas de segundo orden de la función.

Entonces, lo que tenemos que hacer es calcular:

\[H\left(P_{0}\right)=\left|\begin{array}{ll}{f_{x x}\left(P_{0}\right)} & {f_{x y}\left(P_{0}\right)} \\ {f_{y x}\left(P_{0}\right)} & {f_{y y}\left(P_{0}\right)}\end{array}\right|\]

Ese es el determinante hessiano, por eso tiene una \(H\).

Es decir:

\[H\left(P_{0}\right)=f_{x x}\left(P_{0}\right) f_{y y}\left(P_{0}\right)-f_{x y}\left(P_{0}\right) f_{y x}\left(P_{0}\right)\]

Dependiendo del caso, el punto puede ser máximo, mínimo o de silla (ni máximo, ni mínimo). Entonces:

\(H\left(P_{0}\right)>0 \longrightarrow P_{0}\) es el punto de máximo o mínimo

Si \( \space f_{x x}\left(P_{0}\right)>0 \longrightarrow P_{0}\) es el punto mínimo

Si \( \space f_{x x}\left(P_{0}\right)<0 \longrightarrow P_{0}\) es el punto máximo

\(\left(P_{0}\right)<0 \longrightarrow P_{0}\) es el punto de silla

\(H\left(P_{0}\right)=0 \longrightarrow\) no se sabe

Por ejemplo, para clasificar los puntos críticos de:

\[f(x, y)=1-x^{2}-y^{2}\]

Primero tenemos que hallar sus puntos críticos, igualando sus derivadas parciales a cero:

\[(-2 x,-2 y)=(0,0)\]

\[\Rightarrow(x, y)=(0,0)\]

Por tanto, el único punto crítico de \(f\) es el punto \((0,0)\).

Calculando las segundas derivadas y sustituyendo en \(P_{0}=(0,0)\):

\[f_{x x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2 x)=-2\]

\[f_{y y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2 y)=-2\]

\[f_{x y}=f_{y x}=\frac{\partial}{\partial y}(-2 x)=0\]

Ten en cuenta que las segundas derivadas son constantes, no dependen de las coordenadas del punto. Pero si dependiera, solo haz \((x, y)=P_{0}\)

Calculando \(H\left(P_{0}\right)\):

\[H\left(P_{0}\right)=\left|\begin{array}{ll}f_{x x}\left(P_{0}\right) & f_{x y}\left(P_{0}\right) \\ f_{y x}\left(P_{0}\right) & f_{y y}\left(P_{0}\right)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-2 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right|\]

\[\Rightarrow H\left(P_{0}\right)=(-2)(-2)-(0)(0)=4\]

Como \(H\left(P_{0}\right)>0\), ¿es un punto mínimo o máximo? Para saberlo, simplemente analiza el signo de \(f_{x x}\left(P_{0}\right)\). 

Tenemos que \(f_{x x}\left(P_{0}\right)<0\), por lo que es un punto máximo.

El gráfico de la función es:

De hecho, podemos ver que el punto \((0,0)\) es un punto máximo.

Método alternativo

Existe otra forma de clasificar los puntos críticos de las funciones de \(2\) variables. Si en tu universidad no te lo piden, no dudes en omitir esta parte.

Este método implica álgebra lineal. Primero configuramos la matriz hessiana del punto crítico que estamos estudiando, tal como lo hicimos hace un momento. 

Debemos prestarle atención a los autovalores de la matriz hessiana:

   \(1.\) Si todos los autovalores son positivos, es un punto mínimo.

   \(2.\) Si todos los autovalores son negativos, es un punto máximo.

   \(3.\) Si los autovalores alternan entre positivos y negativos, es un punto de silla.

¡Veámoslo con el ejercicio anterior!

Sólo encontramos un punto crítico, \((0,0)\), y su matriz hessiana es:

\[\left[\begin{array}{cc}{-2} & {0} \\ {0} & {-2}\end{array}\right]\]

Vamos a calcular sus autovalores \(\lambda\). Para hacerlo, debemos resolver el determinante de la matriz hessiana restando la matriz identidad, multiplicando por \(\lambda\), e igualando el determinante a cero. Es decir:

\[\operatorname{det}\left(H\left(P_{0}\right)-\lambda I\right)=0\]

\[\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc}-2 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{array}\right]\right)=\left|\begin{array}{cc}-2-\lambda & 0 \\ 0 & -2-\lambda\end{array}\right|=0\]

\[(-2-\lambda)(-2-\lambda)=0\]

\[\Rightarrow-2-\lambda=0\]

\[\Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=-2\]

Como los dos autovalores son negativos, se trata de un punto máximo. ¡Tal como lo que encontramos antes!