Multiplicadores de Lagrange - Una Restricción
A través de este método podemos calcular los máximos y mínimos de una función de múltiples variables, pero no en todo su dominio, solo la parte de la restricción dada.
¿Cómo aplicar Lagrange en una función de \(2\) variables?
Para usar los multiplicadores de Lagrange, necesitamos 2 cosas: una función \(f(x, y)\) para maximizar o minimizar, y una restricción del tipo \(g(x, y)=0\).
Geométricamente, esto significa que buscaremos el máximo (o mínimo) de \(f\) justo por encima de la curva de la ecuación \(g(x, y)=0\), en lugar de todo el dominio.
Para encontrar los puntos máximos y mínimos en esta curva sólo resuelve lo siguiente:
\[\nabla f(x, y)=\lambda \nabla g(x, y)\]
Donde \(\lambda\) es una incógnita (¡el famoso multiplicador de Lagrange!).
Así, para encontrar los máximos y mínimos de la función
\[f(x, y)=1-x-y\]
Encima de la circunferencia \(x^{2}+y^{2}=1\), comenzaremos calculando los gradientes de \(f\) y \(g\).
\[\nabla f(x, y)=(-1,-1)\]
Pero, ¿quién es \(g(x, y)\)?
En ocasiones, \(g\) es la circunferencia dada, pero tenemos que organizar su expresión para que el lado izquierdo sea igual a cero. Entonces jugamos un poco con la ecuación y nos queda:
\[g(x, y)=x^{2}+y^{2}-1=0\]
\[\nabla g(x, y)=(2 x, 2 y)\]
Ahora sí, vamos a usar el multiplicador de Lagrange.
\[\nabla f=\lambda \nabla g\]
\[\Rightarrow(-1,-1)=\lambda(2 x, 2 y)\]
Igualando término a término y agregando la ecuación de la curva de restricción, obtenemos el sistema
\[\left\{\begin{array}{c}{-1=2 \lambda x} \\ {-1=2 \lambda y} \\ {x^{2}+y^{2}=1}\end{array}\right.\]
Podemos dividir las dos primeras ecuaciones entre sí, ya que por el propio sistema, sabemos que \(2 \lambda y \neq 0\).
Entonces llegamos a:
\[x=y\]
Sustituyendo el resultado en la tercera ecuación, tendremos que:
\[y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\]
Entonces:
\[x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\]
Por lo tanto encontramos cuatro puntos:
\[P_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ; P_{2}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) ; P_{3}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ; P_{4}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
Para saber quién es el punto máximo y quién es el punto mínimo, tenemos que sustituir en la expresión de \(f\) y ver sus valores.
\[f(x, y)=1-x-y\]
Para el punto \(P_{1}\):
\[f\left(P_{1}\right)=f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
\[\Rightarrow f\left(P_{1}\right)=1-\sqrt{2}\]
Para el punto \(P_{2}\):
\[f\left(P_{2}\right)=f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
\[\Rightarrow f\left(P_{2}\right)=1+\sqrt{2}\]
Para el punto \(P_{3}\):
\[f\left(P_{3}\right)=f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
\[\Rightarrow f\left(P_{3}\right)=1\]
Y, para el punto \(P_{4}\):
\[f\left(P_{4}\right)=f\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
\[\Rightarrow f\left(P_{4}\right)=1\]
Como \(f\left(P_{2}\right)>f\left(P_{3}\right)=f\left(P_{4}\right)>f\left(P_{1}\right)\), entonces \(P_{2}\) es el punto máximo y \(P_{1}\) es el punto mínimo encima de la circunferencia.
Podemos ver dichos puntos en el siguiente gráfico:
El plano rojo es el gráfico de la función \(f\). Los puntos \(P_{1}\) y \(P_{2}\) se indican en azul. De hecho, pueden ver que corresponden al máximo y mínimo de la función encima de la circunferencia \(x^{2}+y^{2}=1\).
Los pasos a seguir son:
\(1.\) Calcular el gradiente de la función: \(\nabla f\)
\(2.\) Tomar la ecuación de la curva y colocar todo para el lado izquierdo y dejar el cero en el lado derecho.
\(3.\) Definir la función \(g(x, y)\) siendo el lado izquierdo de la ecuación anterior.
\(4.\) Calcular el gradiente de \(g(x, y)\)
\(5.\) Utilizar el multiplicador de Lagrange: \(\nabla f=\lambda \nabla g\)
\(6.\) Agregar la ecuación de la curva al sistema hallado anteriormente.
\(7.\) Resolver el sistema.
\(8.\) Sustituir los puntos encontrados y verificar cuál es el máximo y mínimo.
Método alternativo
Existe otra forma de usar los multiplicadores de Lagrange. La diferencia es que en el sistema vamos a sustituir la ecuación \(\nabla f(x, y)=\lambda \nabla g(x, y)\) por la ecuación del determinante.
\[\left|\begin{array}{ll}{f_{x}} & {f_{y}} \\ {g_{x}} & {g_{y}}\end{array}\right|=0\]
\[f_{x} g_{y}-f_{y} g_{x}=0\]
\[\Rightarrow f_{x} g_{y}=f_{y} g_{x}\]
Podemos armar un sistema usando esta ecuación junto con la de la curva.
En el ejemplo que hicimos teníamos:
\[\nabla f(x, y)=(-1,-1)\]
\[\nabla g(x, y)=(2 x, 2 y)\]
Entonces el determinante queda así:
\[\left|\begin{array}{cc}{-1} & {-1} \\ {2 x} & {2 y}\end{array}\right|=-2 y+2 x=0\]
\[x=y\]
¡Tal como lo hicimos de la otra forma! A partir de entonces, la resolución es igual, solo sustituye en la ecuación de circunferencia que obtenemos los puntos de máximo y mínimo \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) y \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).
¿Cómo aplicar Lagrange a una función de \(3\) variables?
Para funciones de \(3\) variables, el procedimiento es muy similar.
Calculemos los puntos máximos y mínimos absolutos de \(f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}-z\) en la esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\).
La diferencia es que nuestra restricción sale del plano hacia el espacio. Entonces nuestra restricción deja de ser una curva y se convierte en una superficie.
Aquí, tenemos:
\[f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}-z\]
\[g(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0\]
Los pasos a seguir son:
\(1.\) Calcular el gradiente de la función: \(\nabla f\)
\(2.\) Tomar la ecuación de la superficie y colocar todo al lado izquierdo y dejar cero en el lado derecho.
\(3.\) Definir la función \(g(x, y, z)\) siendo el lado izquierdo de la ecuación anterior.
\(4.\) Calcular el gradiente de \(g(x, y, z)\)
\(5.\) Utilizar el multiplicador de Lagrange: \(\nabla f=\lambda \nabla g\)
\(6.\) Agregar la ecuación de superficie al sistema hallado anteriormente.
\(7.\) Resolver el sistema.
\(8.\) Sustituir los puntos encontrados y verificar cuál es el mínimo y máximo.
¿Vieron? ¡Igualito! La única diferencia es que vamos a tener que hacer más cálculos. Nuestro sistema va ser algo así:
\[\left\{\begin{array}{r}{2 x=\lambda 2 x} \\ {4 y=\lambda 2 y} \\ {6 z-1=\lambda 2 z} \\ {x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}\end{array}\right.\]
Como sabemos que ya están cansados de leer tanta teoría, vamos a dejar la resolución detallada de este ejemplo en los ejercicios de fijación.
Método alternativo para funciones de \(3\) variables
Cuando tengan una función de \(3\) variables, \(f(x, y, z)\), con una restricción de \(3\) variables, \(g(x, y, z)\), debes resolver el siguiente sistema:
\[\nabla f(x, y, z) \times \nabla g(x, y, z)=\left|\begin{array}{ccc}{i} & {j} & {k} \\ {f_{x}} & {f_{y}} & {f_{z}} \\ {g_{x}} & {g_{y}} & {g_{z}}\end{array}\right|=(0,0,0)\]
El resultado será el mismo, sólo que los cálculos serán más sencillos.
Analizando dentro del dominio...
Analizar los puntos de máximo y mínimo encima de la restricción no tiene mucha gracia. ¿Qué tal si hay un punto máximo dentro del dominio?…Y de eso es lo que vamos a hablar ahora.
Por ejemplo, vamos a encontrar los puntos máximo y mínimo de la función
\[f(x, y)=2 x y-2\]
Al interior del disco \(x^{2}+y^{2} \leq 1\).
Primero, hacemos un análisis de la frontera, tal como lo hicimos anteriormente.
Haciendo eso, vamos a encontrar los siguientes puntos:
\[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \mathrm{e}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
Después, buscamos los puntos críticos de \(f\) dentro del dominio, haciendo:
\[\nabla f(x, y)=(0,0)\]
\[(2 y, 2 x)=(0,0)\]
Por tanto, consideramos que el único punto crítico de \(f\) es \((0,0)\). Verificamos que está en el interior del disco:
\[x^{2}+y^{2}=0 \leq 1\]
Para finalizar, calculamos el valor de la función en cada uno de los puntos y, tenemos que:
\[f(0,0)=-2, f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1, f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1 f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-3\]
\[f\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-3\]
¡Listo! Encontramos los extremos de \(f\) en el disco \(x^{2}+y^{2} \leq 1\).
Los puntos máximos son \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) y \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\), con un valor máximo de \(-1\), y los puntos mínimos son \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) y \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\), con un valor mínimo \(-3\).
¡Vamos a los ejercicios!
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