Plano Tangente

Para funciones de una variable, vimos que, si tenemos una curva y la derivamos en un determinado punto, podemos encontrar la recta tangente a dicha curva.

Esa recta es, aproximadamente, igual al gráfico de la función en las proximidades del punto. Esto quiere decir que, a medida que nos acerquemos al gráfico de la función cerca al punto, no podemos distinguir cuál es el gráfico de la función y cuál es la recta tangente, porque son super parecidos.

Lo mismo ocurre para funciones de \(2\) variables, a excepción de una pequeña diferencia. En lugar de tener una curva, tenemos una superficie; y en lugar de una recta tangente, tenemos un plano tangente.

Por tanto, el plano tangente se confunde con el gráfico de la función cercana al punto tangencial, tal como ocurre con la recta tangente. Mira el gráfico:

Ya sabemos qué es un plano tangente, así que veamos cómo se calcula.

¿Cómo se calcula?

Para calcular la ecuación del plano tangente a una superficie, necesitamos dos cosas:

     \(1.\) Un punto del plano: \(P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\)

     \(2.\) Un vector normal al plano: \(\vec{n}\)

Ambas son fáciles de hallar, lo cual hace sencillo calcular el plano tangente.

Ecuación del plano:

\[\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right) \cdot \vec{n}=0\]

¿Pero cuál será el vector normal?

Si cerca del punto tangente al plano y la gráfica de la función son prácticamente iguales y sabemos que el vector gradiente es perpendicular a la gráfica de la función, ¡entonces es evidente que el vector gradiente también sea perpendicular al plano tangente!

Entonces, el vector normal al plano tangente será el vector gradiente. Esto aplica para cualquier función. 

Entonces, por ejemplo, para calcular el plano tangente a la gráfica de la función \(f(x, y)=1-x^{2}-2 y^{2}\) en el punto \(P_{0}=(1,1,-2)\), debemos seguir los siguientes pasos:

     \(1.\)Si es necesario, sustituye \(f(x, y)\) por \(z\) en la ecuación de superficie.

     \(2.\) Colocar todas las variables para el lado izquierdo de la ecuación.

     \(3.\) Llamar \(F(x, y, z)\) a la expresión que queda en el lado izquierdo de la ecuación

     \(4.\) Calcular el gradiente de \(F : \nabla F(x, y, z)\)

     \(5.\) Calcular el gradiente de \(F\) en el punto \(P_{0} : \nabla F\left(P_{0}\right)=\nabla F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\)

     \(6.\) El vector normal será \(\vec{n}=\nabla F\left(P_{0}\right)\)

     \(7.\) Sustituir en la ecuación del plano: \(\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right) \cdot \vec{n}=0\)

Entonces, sustituyendo \(f(x, y)\) por \(z\) en la ecuación de superficie, colocando todo al lado izquierdo y llamándolo \(F(x, y, z)\), tenemos:

\[F(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+z-1\]

Calculando el gradiente de \(F\) en el punto tangencial dado \(P_{0}=(1,1,-2)\), tenemos:

\[\nabla F(x, y, z)=(2 x, 4 y, 1)\]

\[\Rightarrow \nabla F(1,1,-2)=(2,4,1)\]

El vector normal será \(\vec{n}=\nabla F\left(P_{0}\right)\)

\[\vec{n}=(2,4,1)\]

Sólo falta sustituir \(\vec{n}\) y \(P_{0}\) en la ecuación del plano:

\[\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right) \cdot \vec{n}=0\]

\[\Rightarrow \overbrace{(x-1, y-1, z-(-2)) \cdot(2,4,1)}^{\text {Producto Escalar }}=0\]

Producto Escalar \(= 0\)

\[\Rightarrow 2 x-2+4 y-4+z+2=0\]

\[\Rightarrow 2 x+4 y+z=4\]