Curvas de Nivel

¿Qué son las curvas de nivel?

Las curvas de nivel son la intersección del gráfico \(z=f(x, y)\) con un plano \(z=k\) (donde \(k\) es una constante). En la práctica, igualamos la función a una constante:

\[f(x, y)=k\]

Es decir, las curvas de nivel es cuando igualas una función a una constante. ¿pero para qué queremos ver esto? ¿donde entra la parte de “curva”? ¡Bueno, eso es lo que queremos averiguar!

Cuando igualamos \(f(x,y)\) a una constante, se formará una curva, y dicha curva siempre estará en el plano \(x,y)\). Sepan que cada valor de \(k\) representa un plano en \(x,y\) (lo entenderán en el siguiente ejemplo). Por otro lado,la representación de muchas curvas de nivel es llamada: Mapa de Contornos.

Ejemplo:

\[f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]

Nota: debes tener en cuenta que esta superficie es la parte superior de un cono circular.

Curvas de nivel

\[f(x, y)=k \Rightarrow \sqrt{x^{2}+y^{2}}=k \Rightarrow x^{2}+y^{2}=k^{2}\]

Luego, a una cierta altura \(z=k\), la intersección entre el cono y el plano \(z=k\) es un círculo de radio \(k\). Es fácil entender qué pasa con el gráfico, así que veamos un poco:

¡Si tomamos la curva roja y la proyectamos en el plano \(\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}\) tendremos un contorno! Para obtener todos las curvas de nivel, necesitamos ir variando el valor de \(k\). 

Seguramente ya se dieron cuenta, pero a medida que variamos el valor de \(k\), el plano subirá o bajará, lo que hará que el círculo que se forma en la intersección se agrande o se achique.

Nota: ten en cuenta que en el ejemplo, \(k\) debe ser mayor o igual a cero porque \(f(x, y)\) siempre es mayor o igual a cero (ya que es la parte superior de un cono). Si \(k=0\), la curva de contorno se reduce al punto \((0,0)\).

Algunas observaciones

Observación 1: también se pueden encontrar con estas preguntas:

“Encuentren el nivel de la curva de nivel de la función \(f(x, y)=x^{2}-y+3\) que pasa por el punto cuyas coordenadas \((x, y)\) son \((1,2)\)”. En este caso, simplemente reemplaza los valores en la función.

\[f(1,2)=1-2+3=2\]

Es decir, esta es la curva de nivel \(2\) de la función.

Observación 2: Con respecto al espaciamiento de las curvas de nivel, es importante tener en cuenta que cuanto más cerca se encuentren, más rápido crecerá la función. Del mismo modo, cuanto más espaciados estén, más lenta será la variación.

Por ejemplo, mira la imagen que muestra las distintas áreas de presión atmosférica en los Estados Unidos:

Podemos ver que en el noroeste las curvas de nivel están muy cerca. Por tanto, la variación de presión es demasiado alta.

Observación 3: Una última cosa antes de ir a los ejercicios: cuando estudies las curvas de nivel de una función, es bueno saber su dominio. Si una función no está definida en un punto, ninguna curva de nivel puede pasar por ella.

Por ejemplo, miren esta función aquí:

\[f(x, y)=\frac{y}{x}\]

Pueden encontrar su dominio fácilmente. La única restricción es \(x \neq 0\). Por lo tanto, las curvas de nivel \(y=k x\) no se establecen en \(x=0\). Por ejemplo, aquí está la curva de nivel \(2\) de la función:

¿Todo claro? ¡Entonces, vamos a los ejercicios!