Límites mediante Manipulación Algebraica para Funciones de Varias Variables

En esta ocasión aprenderemos a convertir el límite de una fracción complicada en algo sencillo.

Y las principales herramientas para hacerlo serán los productos notables. Recordando que:

\[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\]

\[(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\]

\[(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\]

Poniendo especial énfasis en el último porque es el que más utilizaremos. Al igual que en límites, también podemos multiplicar por el conjugado. ¡Y es exactamente lo que haremos!

Por ejemplo, calculemos el límite:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} \frac{x-y-1}{\sqrt{x-y}-1}\]

Sustituyendo los valores \(x=2\) y \(y=1\) nos topamos con una indeterminación \(\frac{0}{0}\). Tenemos que arreglar eso.

Podemos ver que tanto el numerador como el denominador se parecen. Además, el denominador es un término de tipo \(a-b\), con

\[a=\sqrt{x-y}\]

\[b=1\]

¡Vamos a usar el producto notable!

\[(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\]

En este caso será:

\[(\sqrt{x-y}-1)(\sqrt{x-y}+1)=\sqrt{x-y}^{2}-1^{2}=x-y-1\]

¡Exactamente ese es el numerador!

Entonces vamos a multiplicar por el conjugado, es decir, multiplicar la parte superior e inferior de la fracción por \(\sqrt{x-y}+1\): 

\[\frac{x-y-1}{\sqrt{x-y}-1} \cdot \frac{\sqrt{x-y}+1}{\sqrt{x-y}+1}\]

Como hemos visto, en la parte inferior tendremos:

\[(\sqrt{x-y}-1)(\sqrt{x-y}+1)=x-y-1\]

O sea, la fracción será:

\[\frac{x-y-1(\sqrt{x-y}+1)}{x-y-1}=\sqrt{x-y}+1\]

Como pueden ver, manipulando un poco la función original, llegamos a una en la que es más fácil calcular el límite:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} \frac{x-y-1}{\sqrt{x-y}-1}=\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} \sqrt{x-y}+1\]

Y así podemos calcular el límite:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} \sqrt{x-y}+1=\sqrt{1}+1=2\]

Veamos otro ejemplo:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{4 x^{2}-4 x y+y^{2}}{2 x-y}\]

Al ver tal expresión, debemos tener el reflejo de asociarla con el producto notable.

\[(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\]

En este caso, tenemos

\[a^{2}=4 x^{2}\]

\[2 a b=4 x y\]

\[b^{2}=y^{2}\]

Es decir:

\[\left\{\begin{aligned} a &=2 x \\ b &=y \end{aligned}\right.\]

Entonces, podemos colocar la fracción de la siguiente forma:

\[\frac{4 x^{2}-4 x y+y^{2}}{2 x-y}=\frac{(2 x-y)^{2}}{2 x-y}=2 x-y\]

De esta forma, el límite es:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} 2 x-y=0\]

Básicamente eso es todo: recuerda las reglas de factorización y los productos notables para calcular límites.