Superficies de Nivel

¿Qué son? ¿Y cómo se calculan? 

Ya hemos visto que las curvas de nivel son excelentes herramientas para graficar funciones de \(2\) variables porque al juntar unas cuantas podemos “ver” el gráfico definitivo. Las superficies de nivel son el equivalente de las curvas de nivel para funciones de \(3\) variables.

Estas brindan una noción del comportamiento de la función, y para calcularlas solo se debe igualar la función a una constante. Por lo tanto, la superficie de nivel \(k\) de la función \(f(x, y, z)\) viene dada por:

\[f(x, y, z)=k\]

Así que si queremos describir las superficies de nivel de la función.

\[f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\]

Igualar \(f\) a una constante \(k\):

\[f(x, y, z)=k \rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=k=(\sqrt{k})^{2}\]

No es más que la ecuación de una esfera de radio \(\sqrt{k}\) centrada en el origen, cuando\(k>0\). Pero si \(k=0\), la superficie de nivel es el punto \((0,0,0)\) y si \(k<0\) no hay superficie de nivel.

Esto último es bastante intuitivo: no existe un objeto que tenga “dimensiones negativas”.

Al resolver un par de superficies de nivel notarás que la esfera se agranda cada vez más, por lo que el gráfico será:

Eso es todo amigos, ¡Vamos a los ejercicios!