Continuidad

La continuidad de las funciones de \(2\) variables es similar a la continuidad de las funciones de \(1\) variable.

Decimos que una función es continua en un punto \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) si el límite es igual al valor de la función en dicho punto:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\bigg(x_{0}, y_{0}\bigg)\]

Lo mismo aplica para las funciones de \(3\) variables.

En la práctica, tendremos que calcular un límite con una indeterminación y verificar si el resultado del límite es el valor dado por el problema.

Por ejemplo:

\[f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}{\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}},} & {\text { si }(x, y) \neq(0,0)} \\ {0,} & {\text { si }(x, y)=(0,0)}\end{array}\right.\]

Tenemos que calcular:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\]

Usando el teorema del Sandwich, demostramos que:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0\]

El siguiente paso es comparar el resultado con el valor de la función en el punto \((0,0)\). Dicho valor es dado cuando \((x, y)=(0,0)\):

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=f(0,0)=0\]

¡Y listo! Podemos decir que la función es continua en el punto \((x, y)=(0,0)\).

Ten en cuenta que, en todos los demás puntos, dado que es un cociente de funciones continuas (funciones polinomiales), la función sigue siendo continua.

Dominio y continuidad

En resumen, debes saber que todas las funciones clásicas, es decir, las polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas… son continuas en sus dominios.

Además, cuando realizamos operaciones elementales (suma, resta, multiplicación o división (a excepción de la división por cero, claramente)), también obtenemos funciones continuas. Al igual que cuando hacemos composiciones de dichas funciones. 

Entonces, cuando te pregunten sobre la continuidad de una función, debes decir que es continua en todo su dominio y luego hallar dicho dominio. ¿Entendido?

¡Y eso es todo amigos, vamos a los ejercicios!