Derivadas Parciales por Definición de Derivada

¿Cómo se calculan?

En algunos casos la función es definida por partes, es decir, que tiene dos definiciones: una para un punto y otra fuera de dicho punto. Entonces:

\[f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}{\frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} & {, \quad(x, y) \neq(0,0)} \\ {0,} & {(x, y)=(0,0)}\end{array}\right.\]

Para calcular la derivada parcial en el punto \((0,0)\) no podemos simplemente derivar \(0\).

Eso sería demasiado fácil, ¿No?

Pero, como siempre tiene que haber algo que complique las cosas, en estos casos tendremos que calcular las derivadas parciales utilizando la definición de la  derivada parcial, que vendría a ser un límite. 

¿Recuerdan la definición de las derivadas para funciones de una variable? Bueno, esto es similar, sólo que con más variables. Mira:

\[\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{x-x_{0}}\]

\[\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} \frac{f\left(x_{0}, y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{y-y_{0}}\]

Entonces, vamos a calcular las derivadas parciales en \((0,0)\) de la función:

\[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{3}}{x^{2}}-0}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} 1=1\]

\[\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y-0}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\frac{y^{3}}{y^{2}}-0}{y}=\lim _{y \rightarrow 0} 1=1\]

¡Ves, no es tan difícil! ¡Simplemente debes calcular los dos límites!

Solo deben tener en cuenta aquellas situaciones en las que una función se define en un punto y otra fuera de dicho punto. Luego, deberán utilizar la definición de la derivada parcial para calcular la derivada parcial en dicho punto.

Hasta ahora todo sencillo, pero ¿qué pasa con las derivadas parciales mixtas de funciones definidas en \(2\) puntos?

La respuesta es que tendremos que usar la definición nuevamente, ya que las derivadas parciales mixtas siguen siendo derivadas parciales.

La definición de las derivadas parciales mixtas también es un límite. Entonces:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y\right)-\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{y-y_{0}}\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\frac{\partial f}{\partial y}\left(x, y_{0}\right)-\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{x-x_{0}}\]

¿Entendido? Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular las derivadas parciales mixtas del siguiente ejemplo:

\[f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}{\frac{x y^{e}}{x^{2}+y^{2}}} & {, \quad(x, y) \neq(0,0)} \\ {0,} & {(x, y)=(0,0)}\end{array}\right.\]

Comenzando por 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y-0}\]

Primero, vamos a calcular \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) de la forma que vimos anteriormente:

\[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{0-0}{x}=0\]

Necesitamos calcular

\[\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)\]

Para ello, \((x, y) \neq(0,0)\). Por tanto, basta calcular la derivada parcial en relación a \(x\) normalmente para la definición de la función cuando \((x, y) \neq(0,0)\).

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=\frac{y^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x\left(x y^{3}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{x^{2} y^{3}+y^{5}-2 x^{2} y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{y^{5}-x^{2} y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\]

En el punto \((0, y)\):

\[\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)=\frac{y^{5}-(0)^{2} y^{3}}{\left(0^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{y^{5}}{y^{4}}=y\]

Vamos a sustituir:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y-0}\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y-0}{y}=1\]

Vamos a calcular:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{x-0}\]

Primero tenemos que calcular

\[\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y-0}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{0-0}{y}=0\]

Ahora:

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0)\]

Considerando \((x, y) \neq(0,0)\)

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=\frac{3 x y^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 y\left(x y^{3}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{3 x^{3} y^{2}+3 x y^{4}-2 x y^{4}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{3 x^{3} y^{2}+x y^{4}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\]

En el punto \((x, 0)\):

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0)=\frac{3 x^{3}(0)^{2}+x(0)^{4}}{\left(x^{2}+(0)^{2}\right)^{2}}=0\]

Vamos a sustituir:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{x-0}\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{0-0}{x}=0\]

Entonces

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0)=1\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0)=0\]

Ten en cuenta que en este caso las derivadas parciales mixtas no fueron iguales.

¿Recuerdas que vimos que las derivadas parciales mixtas \(f_{x y}\) y \(f_{y x}\), CASI siempre eran iguales?

Este sería un ejemplo de los casos en que no ocurre. Cuando las derivadas parciales de segundo orden no son continuas en un punto, entonces las derivadas parciales mixtas no serán iguales en dicho punto.